Номер 646, страница 133, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

646 Вычисляя сумму всех различных простых делителей некоторого шестизначного числа, в записи которого все цифры одинаковы, Стёпа Растеряйкин получил 70, а Петя Угадайкин – 80. Покажи, что они оба ошиблись.

Пусть $N$ — это шестизначное число, в записи которого все цифры одинаковы. Такое число можно представить в виде $N = a \cdot 111111$, где $a$ — это цифра от 1 до 9.

Задача состоит в том, чтобы найти сумму всех различных простых делителей числа $N$. Для этого нужно разложить на простые множители число $N$. Разложение $N$ зависит от разложения на множители числа $a$ и числа $111111$.

1. Разложение числа 111111 на простые множители

Сначала разложим на множители число 111111:
$111111 = 111 \cdot 1001$

Теперь разложим на множители 111 и 1001:
$111 = 3 \cdot 37$ (оба числа 3 и 37 — простые).
$1001 = 7 \cdot 143 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ (все числа 7, 11, 13 — простые).

Таким образом, полное разложение числа 111111 на простые множители выглядит так:
$111111 = 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$

Сумма этих различных простых делителей равна:
$S_{111111} = 3 + 7 + 11 + 13 + 37 = 71$

2. Анализ различных значений цифры a

Теперь рассмотрим, как влияет цифра $a$ на общую сумму простых делителей. Общая сумма будет равна 71 плюс новые простые делители, которые вносит множитель $a$.

• Если $a = 1$: $N = 111111$. Сумма простых делителей равна 71.
• Если $a = 2$ (простое): $N = 2 \cdot 111111$. Новый простой делитель — 2. Сумма: $71 + 2 = 73$.
• Если $a = 3$ (простое): $N = 3 \cdot 111111$. Делитель 3 уже есть в разложении 111111. Новых делителей нет. Сумма: 71.
• Если $a = 4 = 2^2$: $N = 2^2 \cdot 111111$. Новый простой делитель — 2. Сумма: $71 + 2 = 73$.
• Если $a = 5$ (простое): $N = 5 \cdot 111111$. Новый простой делитель — 5. Сумма: $71 + 5 = 76$.
• Если $a = 6 = 2 \cdot 3$: $N = 2 \cdot 3 \cdot 111111$. Делитель 3 уже есть. Новый делитель — 2. Сумма: $71 + 2 = 73$.
• Если $a = 7$ (простое): $N = 7 \cdot 111111$. Делитель 7 уже есть. Новых делителей нет. Сумма: 71.
• Если $a = 8 = 2^3$: $N = 2^3 \cdot 111111$. Новый простой делитель — 2. Сумма: $71 + 2 = 73$.
• Если $a = 9 = 3^2$: $N = 3^2 \cdot 111111$. Делитель 3 уже есть. Новых делителей нет. Сумма: 71.

3. Вывод

Мы перебрали все возможные варианты для шестизначного числа с одинаковыми цифрами. Возможные значения для суммы его различных простых делителей — это 71, 73 и 76.

Стёпа Растеряйкин получил результат 70, а Петя Угадайкин — 80. Ни одно из этих чисел не совпадает с возможными правильными ответами (71, 73, 76). Следовательно, они оба ошиблись.

Ответ: Возможные значения для искомой суммы простых делителей — 71, 73 и 76. Поскольку Стёпа получил 70, а Петя — 80, ни один из них не получил правильный результат, следовательно, они оба ошиблись.