Номер 651, страница 134, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

651 Найди наибольший общий делитель чисел методом разложения на простые множители:

1) 75 и 135;

2) 180 и 210;

3) 125 и 462;

4) 504 и 720;

5) 117, 195 и 312;

6) 306, 340 и 850.

1) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 75 и 135, разложим их на простые множители.

Разложение числа 75: $75 = 3 \cdot 5^2$.

Разложение числа 135: $135 = 3^3 \cdot 5$.

Чтобы найти НОД, нужно выбрать общие простые множители в наименьшей степени, в которой они встречаются в разложениях, и перемножить их. Общими множителями являются 3 и 5. Наименьшая степень для 3 — это $3^1$, для 5 — это $5^1$.

НОД (75; 135) = $3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: 15

2) Найдем НОД чисел 180 и 210.

Разложение числа 180: $180 = 2 \cdot 90 = 2 \cdot 2 \cdot 45 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Разложение числа 210: $210 = 10 \cdot 21 = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Общие простые множители: 2, 3, 5. В обоих разложениях они встречаются в первой степени.

НОД (180; 210) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Ответ: 30

3) Найдем НОД чисел 125 и 462.

Разложение числа 125: $125 = 5 \cdot 25 = 5^3$.

Разложение числа 462: $462 = 2 \cdot 231 = 2 \cdot 3 \cdot 77 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$.

В разложениях чисел 125 и 462 нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми.

НОД (125; 462) = 1.

Ответ: 1

4) Найдем НОД чисел 504 и 720.

Разложение числа 504: $504 = 2 \cdot 252 = 2^2 \cdot 126 = 2^3 \cdot 63 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$.

Разложение числа 720: $720 = 10 \cdot 72 = 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 9 = 2 \cdot 5 \cdot 2^3 \cdot 3^2 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Общие простые множители: 2 и 3. Наименьшая степень для 2 — это $2^3$, для 3 — это $3^2$.

НОД (504; 720) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Ответ: 72

5) Найдем НОД чисел 117, 195 и 312.

Разложение числа 117: $117 = 3 \cdot 39 = 3^2 \cdot 13$.

Разложение числа 195: $195 = 5 \cdot 39 = 3 \cdot 5 \cdot 13$.

Разложение числа 312: $312 = 2 \cdot 156 = 2^2 \cdot 78 = 2^3 \cdot 39 = 2^3 \cdot 3 \cdot 13$.

Общие простые множители для всех трех чисел: 3 и 13. Наименьшая степень для 3 — это $3^1$, для 13 — это $13^1$.

НОД (117; 195; 312) = $3 \cdot 13 = 39$.

Ответ: 39

6) Найдем НОД чисел 306, 340 и 850.

Разложение числа 306: $306 = 2 \cdot 153 = 2 \cdot 9 \cdot 17 = 2 \cdot 3^2 \cdot 17$.

Разложение числа 340: $340 = 10 \cdot 34 = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 17 = 2^2 \cdot 5 \cdot 17$.

Разложение числа 850: $850 = 10 \cdot 85 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17 = 2 \cdot 5^2 \cdot 17$.

Общие простые множители для всех трех чисел: 2 и 17. В каждом разложении они встречаются в первой степени.

НОД (306; 340; 850) = $2 \cdot 17 = 34$.

Ответ: 34