Номер 654, страница 135, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

654 Все ли числа каждой группы являются взаимно простыми:

1) 57 и 86;

2) 28, 45 и 60;

3) 333 и 7000;

4) 328 и 459?

Чтобы определить, являются ли числа в каждой группе взаимно простыми, необходимо найти их наибольший общий делитель (НОД). Числа являются взаимно простыми, если их НОД равен 1. Для этого разложим каждое число на простые множители и проверим наличие общих множителей.

1) 57 и 86;
Разложим числа на простые множители:
$57 = 3 \times 19$
$86 = 2 \times 43$
Общих простых множителей у чисел 57 и 86 нет, следовательно, их наибольший общий делитель НОД(57, 86) = 1. Числа являются взаимно простыми.
Ответ: да.

2) 28, 45 и 60;
Разложим числа на простые множители:
$28 = 2^2 \times 7$
$45 = 3^2 \times 5$
$60 = 2^2 \times 3 \times 5$
Чтобы все числа в группе были взаимно простыми, необходимо, чтобы каждая пара чисел в этой группе была взаимно простой. Проверим это условие.
Рассмотрим пару чисел 28 и 60. У них есть общий простой множитель 2. Их наибольший общий делитель НОД(28, 60) = $2^2 = 4$.
Так как нашлась пара чисел (28 и 60), которые не являются взаимно простыми, то не все числа в данной группе являются взаимно простыми.
Ответ: нет.

3) 333 и 7000;
Разложим числа на простые множители:
$333 = 3^2 \times 37$
$7000 = 2^3 \times 5^3 \times 7$
Общих простых множителей у чисел 333 и 7000 нет, поэтому НОД(333, 7000) = 1. Числа являются взаимно простыми.
Ответ: да.

4) 328 и 459?
Разложим числа на простые множители:
$328 = 2^3 \times 41$
$459 = 3^3 \times 17$
Общих простых множителей у чисел 328 и 459 нет, значит НОД(328, 459) = 1. Числа являются взаимно простыми.
Ответ: да.