Номер 657, страница 135, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

657 Нарисуй диаграммы Эйлера – Венна множеств:

1) $D(18)$ и $D(24)$;

2) $D(36)$ и $D(77)$;

3) $D(21)$ и $D(42)$.

Для решения задачи необходимо сначала найти все делители для каждого числа, а затем изобразить отношения между получившимися множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Обозначение $D(n)$ — это множество всех натуральных делителей числа $n$.

1) D(18) и D(24)

Сначала найдём множества делителей для чисел 18 и 24.

Делители числа 18: $D(18) = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.

Делители числа 24: $D(24) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$.

Теперь найдём пересечение этих множеств, то есть общие делители:

$D(18) \cap D(24) = \{1, 2, 3, 6\}$.

Множества пересекаются, но ни одно не является подмножеством другого. Диаграмма Эйлера-Венна будет состоять из двух пересекающихся кругов.

• В области пересечения кругов будут находиться общие элементы: 1, 2, 3, 6.
• В части круга $D(18)$, не входящей в пересечение, будут находиться остальные его элементы: 9, 18.
• В части круга $D(24)$, не входящей в пересечение, будут находиться остальные его элементы: 4, 8, 12, 24.

Ответ: Диаграмма состоит из двух пересекающихся кругов. В области пересечения находятся числа {1, 2, 3, 6}. В оставшейся части круга $D(18)$ находятся числа {9, 18}. В оставшейся части круга $D(24)$ находятся числа {4, 8, 12, 24}.

2) D(36) и D(77)

Найдём множества делителей для чисел 36 и 77.

Делители числа 36: $D(36) = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$.

Делители числа 77 (так как $77 = 7 \times 11$): $D(77) = \{1, 7, 11, 77\}$.

Найдём пересечение этих множеств:

$D(36) \cap D(77) = \{1\}$.

Множества имеют только один общий элемент — 1. Диаграмма будет состоять из двух пересекающихся кругов с очень маленькой областью пересечения.

• В области пересечения будет находиться только один элемент: 1.
• В части круга $D(36)$, не входящей в пересечение, будут находиться элементы: 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
• В части круга $D(77)$, не входящей в пересечение, будут находиться элементы: 7, 11, 77.

Ответ: Диаграмма состоит из двух пересекающихся кругов. В области пересечения находится число {1}. В оставшейся части круга $D(36)$ находятся числа {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. В оставшейся части круга $D(77)$ находятся числа {7, 11, 77}.

3) D(21) и D(42)

Найдём множества делителей для чисел 21 и 42.

Делители числа 21: $D(21) = \{1, 3, 7, 21\}$.

Делители числа 42: $D(42) = \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\}$.

Найдём пересечение этих множеств:

$D(21) \cap D(42) = \{1, 3, 7, 21\}$.

Обратим внимание, что пересечение множеств равно самому множеству $D(21)$. Это означает, что $D(21)$ является подмножеством множества $D(42)$, так как $42 = 21 \times 2$.

$D(21) \subset D(42)$.

Диаграмма Эйлера-Венна для этого случая будет состоять из одного круга, расположенного полностью внутри другого.

• Внутренний круг будет представлять множество $D(21)$ и содержать все его элементы: 1, 3, 7, 21.
• Внешний круг будет представлять множество $D(42)$. В той его части, что находится за пределами внутреннего круга, будут располагаться элементы $D(42)$, не принадлежащие $D(21)$: 2, 6, 14, 42.

Ответ: Диаграмма состоит из одного круга ($D(21)$), который полностью находится внутри другого круга ($D(42)$). Во внутреннем круге находятся числа {1, 3, 7, 21}. В области внешнего круга, за пределами внутреннего, находятся числа {2, 6, 14, 42}.