Номер 663, страница 135, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

663 Найди пересечение и объединение множеств натуральных решений неравенств:

1) $x > 8$ и $x \le 11$;

2) $x \le 4$ и $7 < x \le 9$;

3) $2 < x \le 8$ и $x \ge 7$;

4) $5 \le x < 8$ и $1 \le x \le 6$.

Задача состоит в том, чтобы для каждой пары неравенств найти два новых множества: пересечение и объединение множеств их натуральных решений.

1)

Рассмотрим множества натуральных решений для неравенств $x > 8$ и $x \le 11$.

Множество натуральных решений неравенства $x > 8$, обозначим его $A$, включает все натуральные числа, большие 8: $A = \{9, 10, 11, 12, ...\}$.

Множество натуральных решений неравенства $x \le 11$, обозначим его $B$, включает все натуральные числа от 1 до 11 включительно: $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество элементов, которые содержатся в обоих множествах $A$ и $B$ одновременно. В данном случае это натуральные числа, которые больше 8 и одновременно меньше либо равны 11. Таким образом, $A \cap B = \{9, 10, 11\}$.

Объединение множеств $A \cup B$ — это множество, содержащее все элементы, которые есть хотя бы в одном из множеств $A$ или $B$. Объединив множества $A$ и $B$, мы получим множество всех натуральных чисел, так как любое натуральное число либо меньше или равно 11 (и принадлежит $B$), либо больше 11 (и принадлежит $A$). Таким образом, $A \cup B = \{1, 2, 3, ...\} = \mathbb{N}$.

Ответ: пересечение $\{9, 10, 11\}$, объединение $\mathbb{N}$ (множество всех натуральных чисел).

2)

Рассмотрим множества натуральных решений для неравенств $x \le 4$ и $7 < x \le 9$.

Множество натуральных решений неравенства $x \le 4$, обозначим его $A$, включает все натуральные числа, не превышающие 4: $A = \{1, 2, 3, 4\}$.

Множество натуральных решений неравенства $7 < x \le 9$, обозначим его $B$, включает натуральные числа, которые строго больше 7 и не превышают 9: $B = \{8, 9\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество общих элементов. У множеств $A$ и $B$ нет общих элементов. Следовательно, их пересечение — пустое множество. $A \cap B = \emptyset$.

Объединение множеств $A \cup B$ включает все элементы из обоих множеств. $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 8, 9\}$.

Ответ: пересечение $\emptyset$ (пустое множество), объединение $\{1, 2, 3, 4, 8, 9\}$.

3)

Рассмотрим множества натуральных решений для неравенств $2 < x \le 8$ и $x \ge 7$.

Множество натуральных решений неравенства $2 < x \le 8$, обозначим его $A$, включает натуральные числа от 3 до 8: $A = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

Множество натуральных решений неравенства $x \ge 7$, обозначим его $B$, включает все натуральные числа, начиная с 7: $B = \{7, 8, 9, 10, ...\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ состоит из общих элементов. Для данных множеств это числа 7 и 8. $A \cap B = \{7, 8\}$.

Объединение множеств $A \cup B$ состоит из всех элементов обоих множеств. Это все натуральные числа, начиная с 3. $A \cup B = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...\} = \{x \in \mathbb{N} \mid x \ge 3\}$.

Ответ: пересечение $\{7, 8\}$, объединение $\{x \in \mathbb{N} \mid x \ge 3\}$ (все натуральные числа, большие или равные 3).

4)

Рассмотрим множества натуральных решений для неравенств $5 \le x < 8$ и $1 \le x \le 6$.

Множество натуральных решений неравенства $5 \le x < 8$, обозначим его $A$, включает натуральные числа от 5 до 7: $A = \{5, 6, 7\}$.

Множество натуральных решений неравенства $1 \le x \le 6$, обозначим его $B$, включает натуральные числа от 1 до 6: $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ состоит из общих элементов. Для данных множеств это числа 5 и 6. $A \cap B = \{5, 6\}$.

Объединение множеств $A \cup B$ состоит из всех элементов обоих множеств. Объединив $A$ и $B$, получим натуральные числа от 1 до 7. $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

Ответ: пересечение $\{5, 6\}$, объединение $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.