Номер 665, страница 136, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

665 Реши задачу, а затем составь и реши обратную задачу. Сколько можно составить обратных задач?

1) Два пассажира метро, начавшие одновременно один спуск, другой — подъём по соседним эскалаторам, встретились через $40 \text{ с}$. Найти длину наружной части лестницы, если скорость её движения $1 \text{ м/с}$ и пассажиры не перемещались по эскалатору.

2) Один мальчик пробегает на коньках $8 \text{ м/с}$, а другой – $6 \text{ м/с}$. Через сколько секунд первый опередит второго на $50 \text{ м}$, если они одновременно побегут из одного и того же места в одном и том же направлении?

1)

Это задача на встречное движение. Пассажиры находятся на двух соседних эскалаторах, один из которых движется вверх, а другой — вниз. Так как пассажиры не перемещаются по эскалатору, их скорость относительно земли равна скорости эскалатора, то есть $v = 1 \text{ м/с}$.

Поскольку эскалаторы движутся навстречу друг другу, для нахождения общей скорости их сближения нужно сложить их скорости.
Скорость сближения: $v_{сбл} = v_1 + v_2 = 1 \text{ м/с} + 1 \text{ м/с} = 2 \text{ м/с}$.

Пассажиры встретились через 40 секунд. За это время они вместе преодолели расстояние, равное полной длине эскалатора ($L$). Чтобы найти эту длину, нужно скорость сближения умножить на время до встречи ($t$).
$L = v_{сбл} \cdot t = 2 \text{ м/с} \cdot 40 \text{ с} = 80 \text{ м}$.

Ответ: длина наружной части лестницы составляет 80 метров.

Обратные задачи к задаче 1

Для данной задачи можно составить две обратные задачи, сделав неизвестными поочередно время встречи и скорость эскалатора.

Обратная задача 1 (нахождение времени):
Два пассажира метро начали одновременно движение по соседним эскалаторам навстречу друг другу: один спускался, другой поднимался. Длина наружной части лестницы 80 м, а скорость её движения 1 м/с. Пассажиры не перемещались по эскалатору. Через сколько секунд они встретились?
Решение:
1. Находим скорость сближения: $v_{сбл} = 1 \text{ м/с} + 1 \text{ м/с} = 2 \text{ м/с}$.
2. Находим время до встречи, разделив длину эскалатора на скорость сближения: $t = L / v_{сбл} = 80 \text{ м} / 2 \text{ м/с} = 40 \text{ с}$.
Ответ: пассажиры встретились через 40 секунд.

Обратная задача 2 (нахождение скорости):
Два пассажира метро, начавшие одновременно движение по соседним эскалаторам навстречу друг другу, встретились через 40 с. Длина наружной части лестницы 80 м. Пассажиры не перемещались по эскалатору. Какова скорость движения эскалатора?
Решение:
1. Находим общую скорость сближения, разделив длину на время: $v_{сбл} = L / t = 80 \text{ м} / 40 \text{ с} = 2 \text{ м/с}$.
2. Так как скорость сближения — это сумма скоростей двух одинаковых эскалаторов, скорость одного эскалатора равна половине скорости сближения: $v_e = v_{сбл} / 2 = 2 \text{ м/с} / 2 = 1 \text{ м/с}$.
Ответ: скорость движения эскалатора 1 м/с.

2)

Это задача на движение в одном направлении, где один объект обгоняет другой.
Скорость первого мальчика: $v_1 = 8 \text{ м/с}$.
Скорость второго мальчика: $v_2 = 6 \text{ м/с}$.

Чтобы найти, как быстро первый мальчик отдаляется от второго, нужно найти их относительную скорость (скорость удаления). Так как они движутся в одном направлении, скорость удаления равна разности их скоростей.
$v_{уд} = v_1 - v_2 = 8 \text{ м/с} - 6 \text{ м/с} = 2 \text{ м/с}$.

Это означает, что каждую секунду расстояние между мальчиками увеличивается на 2 метра. Чтобы найти время ($t$), через которое расстояние между ними ($\Delta S$) станет 50 м, нужно это расстояние разделить на скорость удаления.
$t = \Delta S / v_{уд} = 50 \text{ м} / 2 \text{ м/с} = 25 \text{ с}$.

Ответ: первый мальчик опередит второго на 50 м через 25 секунд.

Обратные задачи к задаче 2

Для этой задачи можно составить три обратные задачи, где неизвестными будут расстояние, скорость первого мальчика или скорость второго мальчика.

Обратная задача 1 (нахождение расстояния):
Один мальчик пробегает на коньках 8 м в секунду, а другой – 6 м в секунду. Они одновременно побежали из одного и того же места в одном и том же направлении. На каком расстоянии друг от друга они будут через 25 секунд?
Решение:
1. Находим скорость удаления: $v_{уд} = 8 \text{ м/с} - 6 \text{ м/с} = 2 \text{ м/с}$.
2. Находим расстояние между ними через 25 секунд: $\Delta S = v_{уд} \cdot t = 2 \text{ м/с} \cdot 25 \text{ с} = 50 \text{ м}$.
Ответ: через 25 секунд между мальчиками будет 50 метров.

Обратная задача 2 (нахождение скорости первого мальчика):
Два мальчика одновременно побежали на коньках из одного и того же места в одном и том же направлении. Через 25 секунд первый опередил второго на 50 м. Найдите скорость первого мальчика, если скорость второго составляет 6 м/с.
Решение:
1. Находим скорость удаления: $v_{уд} = \Delta S / t = 50 \text{ м} / 25 \text{ с} = 2 \text{ м/с}$.
2. Чтобы найти скорость более быстрого мальчика ($v_1$), нужно к скорости более медленного ($v_2$) прибавить скорость удаления: $v_1 = v_2 + v_{уд} = 6 \text{ м/с} + 2 \text{ м/с} = 8 \text{ м/с}$.
Ответ: скорость первого мальчика 8 м/с.

Обратная задача 3 (нахождение скорости второго мальчика):
Два мальчика одновременно побежали на коньках из одного и того же места в одном и том же направлении. Через 25 секунд первый, бегущий со скоростью 8 м/с, опередил второго на 50 м. Найдите скорость второго мальчика.
Решение:
1. Находим скорость удаления: $v_{уд} = \Delta S / t = 50 \text{ м} / 25 \text{ с} = 2 \text{ м/с}$.
2. Чтобы найти скорость более медленного мальчика ($v_2$), нужно из скорости более быстрого ($v_1$) вычесть скорость удаления: $v_2 = v_1 - v_{уд} = 8 \text{ м/с} - 2 \text{ м/с} = 6 \text{ м/с}$.
Ответ: скорость второго мальчика 6 м/с.