Номер 660, страница 135, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

660 В депо из одинаковых вагонов было сформировано 3 поезда. Первый – на 418 пассажиров, второй – на 456 пассажиров, а третий – на 494 пассажира.

Сколько вагонов в каждом поезде, если известно, что общее число вагонов не превышает 50?

Пусть $k$ — это количество пассажиров, которое вмещает один вагон. Поскольку все вагоны в поездах одинаковые, а количество вагонов в каждом поезде является целым числом, то вместимость одного вагона $k$ должна быть общим делителем чисел 418 (пассажиры в первом поезде), 456 (во втором) и 494 (в третьем).

Чтобы найти все возможные значения $k$, найдем наибольший общий делитель (НОД) этих чисел. Для этого разложим каждое число на простые множители:

• $418 = 2 \cdot 11 \cdot 19$
• $456 = 2^3 \cdot 3 \cdot 19$
• $494 = 2 \cdot 13 \cdot 19$

Общими множителями для всех трех чисел являются 2 и 19. Следовательно, их НОД равен произведению этих множителей: НОД(418, 456, 494) = $2 \cdot 19 = 38$.

Любой общий делитель этих чисел также является делителем их НОД. Таким образом, возможные значения для $k$ — это делители числа 38: 1, 2, 19, 38.

В задаче есть дополнительное условие: общее число вагонов $N$ во всех трех поездах не превышает 50. Выразим $N$ через $k$:

$N = \frac{418}{k} + \frac{456}{k} + \frac{494}{k} = \frac{418 + 456 + 494}{k} = \frac{1368}{k}$

Проверим неравенство $N \le 50$ для каждого возможного значения $k$:

• При $k=1$: $N = 1368/1 = 1368$. Так как $1368 > 50$, это значение не подходит.
• При $k=2$: $N = 1368/2 = 684$. Так как $684 > 50$, это значение не подходит.
• При $k=19$: $N = 1368/19 = 72$. Так как $72 > 50$, это значение не подходит.
• При $k=38$: $N = 1368/38 = 36$. Так как $36 \le 50$, это значение подходит.

Следовательно, единственно возможная вместимость одного вагона — 38 пассажиров.

Зная вместимость вагона, вычисляем количество вагонов в каждом поезде:

• Количество вагонов в первом поезде: $418 \div 38 = 11$.
• Количество вагонов во втором поезде: $456 \div 38 = 12$.
• Количество вагонов в третьем поезде: $494 \div 38 = 13$.

Проверка: общее количество вагонов $11 + 12 + 13 = 36$, что не превышает 50. Условие выполнено.

Ответ: в первом поезде 11 вагонов, во втором — 12 вагонов, в третьем — 13 вагонов.