Номер 656, страница 135, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

656 Найди устно:

1) $ \text{НОД} (8, 48); $

2) $ \text{НОД} (23, 69); $

3) $ \text{НОД} (7, 15); $

4) $ \text{НОД} (380, 381); $

5) $ \text{НОД} (20, 100); $

6) $ \text{НОД} (14, 25). $

1) НОД (8, 48)
Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое натуральное число, на которое без остатка делятся оба заданных числа. В данном случае, если одно из чисел (большее) делится на другое (меньшее) нацело, то меньшее число и является их наибольшим общим делителем.
Проверим это свойство для чисел 8 и 48.
$48 \div 8 = 6$.
Число 48 делится на 8 без остатка. Следовательно, НОД (8, 48) равен 8.
Ответ: 8

2) НОД (23, 69)
Число 23 является простым, то есть оно делится только на 1 и на само себя. Поэтому, чтобы найти НОД (23, 69), достаточно проверить, делится ли 69 на 23.
$69 \div 23 = 3$.
Так как 69 делится на 23 без остатка, то наибольший общий делитель этих чисел равен 23.
Ответ: 23

3) НОД (7, 15)
Для нахождения НОД разложим оба числа на простые множители.
Число 7 является простым. Его делители: 1, 7.
Разложение числа 15 на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$. Его делители: 1, 3, 5, 15.
Единственным общим делителем для чисел 7 и 15 является 1. Такие числа называются взаимно простыми.
Следовательно, НОД (7, 15) = 1.
Ответ: 1

4) НОД (380, 381)
Числа 380 и 381 являются последовательными целыми числами.
Два последовательных целых числа всегда являются взаимно простыми. Их наибольший общий делитель всегда равен 1. Это можно доказать: пусть $d$ — их общий делитель. Тогда $d$ делит и 380, и 381. Следовательно, $d$ должен делить и их разность: $381 - 380 = 1$. Единственное натуральное число, которое делит 1, — это 1.
Таким образом, НОД (380, 381) = 1.
Ответ: 1

5) НОД (20, 100)
Как и в первом примере, проверим, делится ли большее число на меньшее.
$100 \div 20 = 5$.
Число 100 делится на 20 нацело. Значит, меньшее из чисел, 20, является их наибольшим общим делителем.
НОД (20, 100) = 20.
Ответ: 20

6) НОД (14, 25)
Разложим оба числа на простые множители, чтобы найти их общие делители.
Разложение числа 14: $14 = 2 \cdot 7$.
Разложение числа 25: $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$.
У разложений чисел 14 и 25 нет общих простых множителей. Это означает, что их единственный общий делитель — это 1.
Следовательно, НОД (14, 25) = 1.
Ответ: 1