Номер 655, страница 135, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

655 1) Число $a$ делится на число $b$. Найди $\text{НОД}(a, b)$.

2) В каком случае $\text{НОД}(a, b) = a$? Придумай две пары таких чисел.

3) Что можно сказать о числах $a$ и $b$, если $\text{НОД}(a, b) = 1$?

1) Число a делится на число b. Найди НОД (a, b).

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — это наибольшее натуральное число, на которое оба этих числа делятся без остатка. В данном случае, нам даны числа $a$ и $b$.

По условию, число $a$ делится на число $b$. Это значит, что $b$ является делителем числа $a$. Математически это можно записать как $a = k \cdot b$, где $k$ — некоторое целое число.

Все делители числа $b$ также будут являться делителями числа $a$, так как если $b$ делится на некое число $d$, то и $k \cdot b$ будет делиться на $d$. Следовательно, множество общих делителей чисел $a$ и $b$ полностью совпадает с множеством делителей числа $b$.

Нам нужно найти наибольший из этих общих делителей. Наибольшим делителем любого натурального числа является само это число. Значит, наибольшим делителем числа $b$ является само число $b$.

Таким образом, если число $a$ делится на число $b$, то их наибольший общий делитель равен $b$.

Например, возьмем $a = 12$ и $b = 4$. Число $12$ делится на $4$. Делители числа $4$: $1, 2, 4$. Делители числа $12$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Общие делители: $1, 2, 4$. Наибольший из них — $4$, что равно $b$.

Ответ: $НОД(a, b) = b$.

2) В каком случае НОД (a, b) = a? Придумай две пары таких чисел.

Равенство $НОД(a, b) = a$ может выполняться только в определенном случае. По определению, $НОД(a, b)$ является делителем и числа $a$, и числа $b$.

Если $НОД(a, b) = a$, это автоматически означает, что $a$ должно быть делителем числа $b$. Другими словами, число $b$ должно делиться на число $a$ без остатка ($b$ кратно $a$).

Итак, условие $НОД(a, b) = a$ выполняется тогда и только тогда, когда число $b$ делится на число $a$.

Примеры таких пар чисел:

Пара 1: $a = 7$, $b = 21$.
Проверяем: $21$ делится на $7$ ($21 = 3 \cdot 7$). Следовательно, $НОД(7, 21) = 7$, что равно $a$.

Пара 2: $a = 15$, $b = 60$.
Проверяем: $60$ делится на $15$ ($60 = 4 \cdot 15$). Следовательно, $НОД(15, 60) = 15$, что равно $a$.

Ответ: Равенство $НОД(a, b) = a$ выполняется в случае, если число $b$ делится нацело на число $a$. Примеры пар: ($7, 21$) и ($15, 60$).

3) Что можно сказать о числах a и b, если НОД (a, b) = 1?

Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел $a$ и $b$ равен $1$, это означает, что у них нет никаких общих делителей, кроме самого числа $1$.

Такие числа называются взаимно простыми.

Важно понимать, что это не означает, что сами числа $a$ и $b$ обязательно являются простыми. Они могут быть и составными. Главное условие — отсутствие общих простых множителей в их разложении на простые множители.

Например:

• Числа $8$ и $15$. $НОД(8, 15) = 1$. Оба числа составные: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$, $15 = 3 \cdot 5$. У них нет общих простых множителей.
• Числа $14$ и $25$. $НОД(14, 25) = 1$. Оба числа составные: $14 = 2 \cdot 7$, $25 = 5 \cdot 5$. У них также нет общих простых множителей.

Ответ: Если $НОД(a, b) = 1$, то числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми. Это значит, что у них нет общих делителей, кроме $1$.