Номер 649, страница 134, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

649 Докажи, что число 5 является наибольшим общим делителем чисел 85 и 90.

Какими способами можно это сделать?

Для того чтобы доказать, что число 5 является наибольшим общим делителем (НОД) чисел 85 и 90, можно воспользоваться несколькими способами.

Способ 1: По определению наибольшего общего делителя

Этот способ заключается в двух шагах: сначала доказать, что 5 является общим делителем, а затем — что он наибольший из всех возможных общих делителей.

1. Проверка, является ли 5 общим делителем.
Для этого нужно проверить, делятся ли числа 85 и 90 на 5 без остатка.
$85 \div 5 = 17$
$90 \div 5 = 18$
Оба числа делятся на 5 нацело, значит, 5 является их общим делителем.

2. Проверка, является ли 5 наибольшим общим делителем.
Для этого найдем все делители каждого из чисел.
Делители числа 85: Д(85) = {1, 5, 17, 85}.
Делители числа 90: Д(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}.
Теперь выпишем общие делители для обоих чисел: {1, 5}.
Наибольшим из этих общих делителей является число 5.

Ответ: Так как 5 является общим делителем чисел 85 и 90, и нет ни одного общего делителя больше, чем 5, то 5 является их наибольшим общим делителем.

Способ 2: Разложение чисел на простые множители

Этот способ состоит в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и найти произведение их общих множителей.

1. Разложим число 85 на простые множители:
$85 = 5 \cdot 17$

2. Разложим число 90 на простые множители:
$90 = 2 \cdot 45 = 2 \cdot 3 \cdot 15 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$

3. Найдем общие простые множители в разложениях обоих чисел. Единственным общим простым множителем является 5. Наименьшая степень, в которой множитель 5 входит в оба разложения, — первая ($5^1$).

4. Наибольший общий делитель равен произведению общих простых множителей, взятых в наименьшей степени.

$НОД(85, 90) = 5$

Ответ: Разложение на простые множители показывает, что единственным общим множителем является 5, следовательно, это и есть наибольший общий делитель.

Способ 3: С помощью алгоритма Евклида

Алгоритм Евклида — это эффективный метод нахождения НОД двух целых чисел путем последовательного деления с остатком.

1. Делим большее число (90) на меньшее (85) и находим остаток:
$90 = 1 \cdot 85 + 5$

2. Теперь делим предыдущий делитель (85) на полученный остаток (5):
$85 = 17 \cdot 5 + 0$

Процесс останавливается, так как остаток равен 0. Последний ненулевой остаток является наибольшим общим делителем.

Ответ: Согласно алгоритму Евклида, последний ненулевой остаток равен 5, следовательно, $НОД(85, 90) = 5$.