Номер 652, страница 134, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

652 Найди наибольший общий делитель чисел наиболее удобным способом:

1) 14 и 140;

2) 4914 и 4915;

3) 6, 81 и 9054;

4) 3150 и 1848.

1) Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел 14 и 140 воспользуемся свойством делимости. Заметим, что число 140 делится на 14 без остатка: $140 : 14 = 10$. Если одно натуральное число делится на другое, то меньшее из этих чисел является их наибольшим общим делителем. Следовательно, НОД(14, 140) = 14. Ответ: 14.

2) Числа 4914 и 4915 являются последовательными натуральными числами. Разность таких чисел всегда равна 1: $4915 - 4914 = 1$. Любой общий делитель двух чисел должен также делить и их разность. Единственным натуральным числом, которое делит 1, является само число 1. Поэтому наибольший общий делитель любых двух последовательных натуральных чисел равен 1. Ответ: 1.

3) Чтобы найти НОД для чисел 6, 81 и 9054, удобно рассмотреть делители самого маленького из них — числа 6. Делителями числа 6 являются 1, 2, 3, 6. Наибольший общий делитель должен быть одним из этих чисел. Проверим их в порядке убывания.
- Число 6 не является общим делителем, так как 81 — нечетное число и не делится на 2, а значит, и на 6.
- Проверим следующий по величине делитель — число 3. Используем признак делимости на 3 (сумма цифр должна делиться на 3).
- 6 делится на 3.
- 81 делится на 3, так как $8 + 1 = 9$, и 9 делится на 3.
- 9054 делится на 3, так как $9 + 0 + 5 + 4 = 18$, и 18 делится на 3.
Поскольку 3 является общим делителем для всех трех чисел, а больший возможный делитель (6) не подошел, то 3 и есть их наибольший общий делитель. Ответ: 3.

4) Для нахождения НОД больших чисел, таких как 3150 и 1848, наиболее удобен алгоритм Евклида. Он состоит в последовательном делении с остатком.
1. Делим большее число на меньшее: $3150 = 1 \times 1848 + 1302$.
2. Делим делитель (1848) на остаток (1302): $1848 = 1 \times 1302 + 546$.
3. Повторяем процедуру: $1302 = 2 \times 546 + 210$.
4. $546 = 2 \times 210 + 126$.
5. $210 = 1 \times 126 + 84$.
6. $126 = 1 \times 84 + 42$.
7. $84 = 2 \times 42 + 0$.
Деление прекращается, когда остаток становится равным нулю. Последний ненулевой остаток является наибольшим общим делителем. В данном случае это 42. Ответ: 42.