Номер 658, страница 135, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

658 1) Ковбой Джо, вычисляя $\text{НОД}(24, 320)$, получил в ответе 48 и тут же догадался, что допущена ошибка. Как он это определил?

2) Может ли НОД нескольких чисел быть больше хотя бы одного из этих чисел?

1)

Наибольший общий делитель (НОД) двух или более чисел — это самое большое натуральное число, на которое все эти числа делятся без остатка. Из определения следует, что НОД должен быть делителем каждого из данных чисел. В задаче даны числа 24 и 320.
Пусть их НОД равен $d$. Тогда $d$ должен быть делителем числа 24 и одновременно делителем числа 320. Любой делитель положительного числа не может быть больше самого этого числа. Следовательно, НОД чисел 24 и 320 не может быть больше 24. Математически это записывается как $\text{НОД}(24, 320) \le 24$.
Ковбой Джо получил в ответе 48. Он сразу же заметил, что $48 > 24$. Так как число 48 больше числа 24, оно не может быть делителем 24. А раз 48 не является делителем хотя бы одного из чисел, оно не может быть их общим делителем, и тем более не может быть их наибольшим общим делителем. Именно так Джо и понял, что допустил ошибку.
Ответ: Ковбой Джо определил ошибку, потому что наибольший общий делитель не может быть больше ни одного из чисел, для которых он вычисляется. В данном случае, полученный ответ 48 больше, чем одно из чисел, а именно 24.

2)

Нет, не может.
Рассмотрим набор натуральных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$. Их наибольший общий делитель, обозначим его как $D$, по определению является делителем каждого из этих чисел.
Если $D$ является делителем числа $a_i$ (где $a_i$ — любое число из набора), то $a_i$ должно делиться на $D$ нацело. Это можно записать в виде $a_i = k \cdot D$, где $k$ — некоторое натуральное число ($k \ge 1$).
Из этого равенства следует, что $a_i \ge D$.
Это неравенство справедливо для каждого числа из исходного набора. Таким образом, наибольший общий делитель $D$ всегда меньше или равен каждому из чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$. Следовательно, он не может быть больше хотя бы одного из этих чисел.
Ответ: Нет, наибольший общий делитель нескольких чисел не может быть больше хотя бы одного из этих чисел.