Номер 672, страница 137, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

672 Найди наибольший общий делитель чисел, если:

1) $a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$, $b = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$;

2) $a = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 31$, $b = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 31$;

3) $a = 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 19$, $b = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19$, $c = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$;

4) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 29$, $b = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 29$, $c = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 29$.

1) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, разложенных на простые множители, необходимо найти произведение их общих простых множителей. При этом каждый общий множитель берется с наименьшим показателем степени, с которым он входит в разложения чисел.
Даны разложения чисел $a$ и $b$:
$a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 11^1$
$b = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 13^1$
Общими простыми множителями для чисел $a$ и $b$ являются 2, 3 и 5.
Выберем для каждого общего множителя наименьшую степень: для 2 это $2^1$, для 3 это $3^1$, для 5 это $5^1$.
Перемножим эти множители:
НОД($a, b$) = $2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Ответ: 30

2) Даны разложения чисел $a$ и $b$:
$a = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 31 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \cdot 31^1$
$b = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 31 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^3 \cdot 31^1$
Общими простыми множителями для чисел $a$ и $b$ являются 2, 5 и 31.
Выберем для каждого общего множителя наименьшую степень: для 2 это $2^1$, для 5 это $5^2$, для 31 это $31^1$.
Перемножим эти множители:
НОД($a, b$) = $2^1 \cdot 5^2 \cdot 31^1 = 2 \cdot 25 \cdot 31 = 50 \cdot 31 = 1550$.
Ответ: 1550

3) Даны разложения чисел $a$, $b$ и $c$:
$a = 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 19 = 3^1 \cdot 7^2 \cdot 19^1$
$b = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19 = 2^1 \cdot 5^2 \cdot 11^1 \cdot 19^1$
$c = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1$
Для нахождения НОД трёх чисел необходимо найти простые множители, которые входят в разложение каждого из этих чисел.
Сравним наборы простых множителей:
Множители числа $a$: {3, 7, 19}.
Множители числа $b$: {2, 5, 11, 19}.
Множители числа $c$: {2, 3, 5, 7}.
Не существует ни одного простого множителя, который был бы общим для всех трёх чисел. В таком случае наибольший общий делитель равен 1.
Ответ: 1

4) Даны разложения чисел $a$, $b$ и $c$:
$a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 29 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 29^1$
$b = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 29 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 29^1$
$c = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 29 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 11^1 \cdot 29^1$
Общими простыми множителями для всех трёх чисел являются 3 и 29.
Выберем для каждого общего множителя наименьшую степень: для 3 это $3^1$ (из разложения числа $c$), для 29 это $29^1$ (во всех разложениях).
Перемножим эти множители:
НОД($a, b, c$) = $3^1 \cdot 29^1 = 3 \cdot 29 = 87$.
Ответ: 87