Номер 673, страница 137, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

673 Найди наибольший общий делитель чисел методом разложения на простые множители:

1) 520 и 468;

2) 814 и 4400;

3) 855 и 11 400;

4) 40, 100 и 180.

1) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 520 и 468, разложим каждое из них на простые множители.

Разложение числа 520: $520 = 10 \cdot 52 = (2 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 13) = 2 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 13 = 2^3 \cdot 5 \cdot 13$.

Разложение числа 468: $468 = 4 \cdot 117 = 4 \cdot 9 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 13$.

Для нахождения НОД нужно взять общие простые множители с наименьшей степенью. Общими множителями являются 2 и 13. Наименьшая степень для множителя 2 - это $2^2$, а для множителя 13 - это $13^1$.

Таким образом, НОД(520, 468) = $2^2 \cdot 13 = 4 \cdot 13 = 52$.
Ответ: 52

2) Найдем НОД для чисел 814 и 4400. Сначала разложим их на простые множители.

Разложение числа 814: $814 = 2 \cdot 407 = 2 \cdot 11 \cdot 37$.

Разложение числа 4400: $4400 = 44 \cdot 100 = (4 \cdot 11) \cdot (10 \cdot 10) = (2^2 \cdot 11) \cdot ((2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)) = 2^2 \cdot 11 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 11$.

Общими простыми множителями являются 2 и 11. Берем их с наименьшими степенями: $2^1$ и $11^1$.

НОД(814, 4400) = $2 \cdot 11 = 22$.
Ответ: 22

3) Найдем НОД для чисел 855 и 11 400. Выполним разложение на простые множители.

Разложение числа 855: $855 = 5 \cdot 171 = 5 \cdot 9 \cdot 19 = 3^2 \cdot 5 \cdot 19$.

Разложение числа 11 400: $11400 = 114 \cdot 100 = (2 \cdot 57) \cdot (10^2) = (2 \cdot 3 \cdot 19) \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2 \cdot 3 \cdot 19 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 19$.

Общие простые множители: 3, 5 и 19. Наименьшие степени для них: $3^1$, $5^1$ и $19^1$.

НОД(855, 11 400) = $3 \cdot 5 \cdot 19 = 15 \cdot 19 = 285$.
Ответ: 285

4) Найдем НОД для чисел 40, 100 и 180. Разложим каждое число на простые множители.

Разложение числа 40: $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$.

Разложение числа 100: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.

Разложение числа 180: $180 = 18 \cdot 10 = (2 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 5) = (2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Общими для всех трех чисел являются простые множители 2 и 5. Наименьшая степень для 2 во всех разложениях - это $2^2$, а для 5 - это $5^1$.

НОД(40, 100, 180) = $2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$.
Ответ: 20