Номер 674, страница 137, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

674 Для новогодних подарков купили 270 яблок, 675 мандаринов и различные сладости. Какое наибольшее число подарков можно приготовить, чтобы в них были одинаковые наборы яблок и мандаринов и все они вошли в эти подарки?

Для того чтобы в каждом подарке был одинаковый набор яблок и мандаринов, и при этом все фрукты были использованы, количество подарков должно быть общим делителем для числа яблок (270) и числа мандаринов (675). Чтобы найти наибольшее возможное число таких подарков, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) этих двух чисел.

Разложим числа 270 и 675 на простые множители:

Для числа 270:
$270 | 2$
$135 | 3$
$45 | 3$
$15 | 3$
$5 | 5$
$1$
Таким образом, $270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$.

Для числа 675:
$675 | 3$
$225 | 3$
$75 | 3$
$25 | 5$
$5 | 5$
$1$
Таким образом, $675 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5^2$.

Теперь найдем наибольший общий делитель, перемножив общие простые множители в их наименьших степенях. Общими множителями являются $3$ и $5$. Наименьшая степень для $3$ - это $3^3$, а для $5$ - это $5^1$.

НОД(270, 675) = $3^3 \cdot 5^1 = 27 \cdot 5 = 135$.

Следовательно, наибольшее число подарков, которое можно приготовить, равно 135. При этом в каждом подарке будет по $270 / 135 = 2$ яблока и по $675 / 135 = 5$ мандаринов.

Ответ: 135.