Номер 681, страница 139, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

C 681

Найди правило размещения чисел в клетках таблицы и заполни пустые клетки.

Для решения этой задачи нужно найти закономерность в каждой из трех таблиц и, используя ее, заполнить пустые клетки.

Таблица 1 (слева)

Проанализируем числа в строках и столбцах. Закономерность заключается в том, что числа в каждой строке и в каждом столбце образуют квадратичную последовательность. Это означает, что разности между соседними числами (первые разности) образуют арифметическую прогрессию, а разности между этими разностями (вторые разности) постоянны.

Строки:
Ряд 1: 25, 26, 29. Разности: +1, +3. Вторая разность: +2. Следующая разность будет 3+2=5. Тогда четвертое число: $29+5=34$.
Ряд 2: 28, 27, 30. Разности: -1, +3. Вторая разность: +4. Следующая разность будет 3+4=7. Тогда четвертое число: $30+7=37$.
Ряд 3: 33, 32, 31. Разности: -1, -1. Вторая разность: 0. Следующая разность будет -1+0=-1. Тогда четвертое число: $31-1=30$.

Столбцы:
Столбец 1: 25, 28, 33. Разности: +3, +5. Вторая разность: +2. Следующая разность будет 5+2=7. Тогда четвертое число: $33+7=40$.
Столбец 2: 26, 27, 32. Разности: +1, +5. Вторая разность: +4. Следующая разность будет 5+4=9. Тогда четвертое число: $32+9=41$.
Столбец 3: 29, 30, 31. Разности: +1, +1. Вторая разность: 0. Следующая разность будет 1+0=1. Тогда четвертое число: $31+1=32$.

Осталось найти последнее число в 4-й строке и 4-м столбце.
Ряд 4: 40, 41, 32. Разности: +1, -9. Вторая разность: -10. Следующая разность будет -9-10=-19. Тогда четвертое число: $32-19=13$.

Ответ: Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Таблица 2 (в центре)

Здесь применяется та же закономерность: числа в строках и столбцах образуют квадратичные последовательности. В данном случае вторая разность для всех строк и столбцов равна +2.

Строки:
Ряд 1: 5, 9, 15. Разности: +4, +6. Следующая разность: $6+2=8$. Четвертое число: $15+8=23$.
Ряд 2: 7, 13, 21. Разности: +6, +8. Следующая разность: $8+2=10$. Четвертое число: $21+10=31$.

Столбцы:
Столбец 1: 5, 7, 11, 17. Разности: +2, +4, +6. Вторая разность везде +2.
Столбец 2: 9, 13, 19. Разности: +4, +6. Следующая разность: $6+2=8$. Четвертое число: $19+8=27$.

Теперь, зная эти значения, можем найти остальные.
Ряд 3: 11, 19. Разность +8. Следующая разность: $8+2=10$. Третье число: $19+10=29$. Следующая разность: $10+2=12$. Четвертое число: $29+12=41$.
Ряд 4: 17, 27. Разность +10. Следующая разность: $10+2=12$. Третье число: $27+12=39$. Следующая разность: $12+2=14$. Четвертое число: $39+14=53$.

Проверим по столбцам:
Столбец 3: 15, 21, 29, 39. Разности: +6, +8, +10. Вторая разность +2. Все верно.
Столбец 4: 23, 31, 41, 53. Разности: +8, +10, +12. Вторая разность +2. Все верно.

Ответ: Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Таблица 3 (справа)

В этой таблице правило отличается от предыдущих. Здесь значение в каждой клетке $C(i,j)$ (кроме первой строки и первого столбца) зависит от трех соседних клеток сверху и слева. Правило можно выразить формулой:

$C(i,j) = C(i-1,j) + C(i,j-1) - C(i-1,j-1) + 1$

При проверке этого правила на известных значениях обнаруживается несоответствие: для клетки (4,2) значение в таблице равно 15, в то время как по формуле оно должно быть 9:

$C(4,2) = C(3,2) + C(4,1) - C(3,1) + 1 = 26 + 3 - 21 + 1 = 9$.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка, и в клетке (4,2) должно стоять число 9. Приняв это допущение, заполним остальные клетки.

Расчеты (с учетом $C(4,2)=9$):
$C(2,2) = C(1,2) + C(2,1) - C(1,1) + 1 = 9 + 12 - 6 + 1 = 16$.
$C(3,3) = C(2,3) + C(3,2) - C(2,2) + 1 = 20 + 26 - 16 + 1 = 31$.
$C(4,3) = C(3,3) + C(4,2) - C(3,2) + 1 = 31 + 9 - 26 + 1 = 15$.
$C(2,4) = C(1,4) + C(2,3) - C(1,3) + 1 = 15 + 20 - 12 + 1 = 24$.
$C(3,4) = C(2,4) + C(3,3) - C(2,3) + 1 = 24 + 31 - 20 + 1 = 36$.
$C(4,4) = C(3,4) + C(4,3) - C(3,3) + 1 = 36 + 15 - 31 + 1 = 21$.

Ответ: Заполненная таблица (с исправленной опечаткой) выглядит следующим образом:

^*Предполагается, что это значение должно быть 9 для выполнения правила.