Номер 684, страница 140, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

К 684 Найди наименьшее общее кратное чисел 28 и 42:

1) составляя множество K(28, 42) их общих кратных;

2) методом перебора;

3) методом разложения на простые множители.

1) составляя множество К (28, 42) их общих кратных;

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) этим методом, необходимо сначала выписать множества кратных для каждого из чисел.

Множество кратных числа 28, обозначим его $K(28)$, состоит из чисел, которые делятся на 28 без остатка:
$K(28) = \{28 \cdot 1, 28 \cdot 2, 28 \cdot 3, 28 \cdot 4, ...\} = \{28, 56, 84, 112, ...\}$.

Аналогично, множество кратных числа 42, $K(42)$, состоит из чисел, которые делятся на 42 без остатка:
$K(42) = \{42 \cdot 1, 42 \cdot 2, 42 \cdot 3, ...\} = \{42, 84, 126, ...\}$.

Далее найдем множество их общих кратных $K(28, 42)$, которое является пересечением множеств $K(28)$ и $K(42)$. Это числа, которые присутствуют в обоих списках. Первое такое число, которое мы встречаем, — 84.
$K(28, 42) = \{84, 168, ...\}$.

Наименьшее число в множестве общих кратных и является наименьшим общим кратным. В данном случае это 84.

Ответ: 84

2) методом перебора;

Этот метод заключается в том, что мы выбираем большее из двух чисел и последовательно проверяем его кратные на делимость на меньшее число.

Большее число — 42. Будем выписывать его кратные и проверять, делятся ли они на 28.

1. Первое кратное числа 42: $42 \cdot 1 = 42$. Проверяем делимость на 28: $42 \div 28 = 1$ (остаток 14). Число 42 не делится нацело на 28.

2. Второе кратное числа 42: $42 \cdot 2 = 84$. Проверяем делимость на 28: $84 \div 28 = 3$. Число 84 делится нацело на 28.

Так как 84 — это первое кратное числа 42, которое также является кратным для 28, то оно и есть наименьшее общее кратное.

Ответ: 84

3) методом разложения на простые множители.

Чтобы найти НОК этим методом, необходимо разложить оба числа на простые множители.

Разложение числа 28 на простые множители: $28 = 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.

Разложение числа 42 на простые множители: $42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.

Далее, чтобы составить НОК, нужно взять все простые множители, входящие в разложения обоих чисел, причём каждый множитель берётся в наибольшей степени, в которой он встречается в этих разложениях, и перемножить их.

Простые множители, которые мы встретили: 2, 3 и 7.
Наибольшая степень множителя 2 — это $2^2$ (из разложения числа 28).
Наибольшая степень множителя 3 — это $3^1$ (из разложения числа 42).
Наибольшая степень множителя 7 — это $7^1$ (встречается в обоих разложениях в первой степени).

Перемножаем эти множители:
НОК$(28, 42) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$.

Ответ: 84