Номер 690, страница 141, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

690 Известно, что $НОК (a, b) = ab$. Что можно сказать о числах $a$ и $b$?

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ существует фундаментальное свойство, которое связывает их Наименьшее Общее Кратное (НОК) и Наибольший Общий Делитель (НОД):

$НОК(a, b) \cdot НОД(a, b) = a \cdot b$

Из условия задачи нам дано, что $НОК(a, b) = ab$.

Мы можем подставить это равенство в основное свойство:

$(ab) \cdot НОД(a, b) = ab$

Если предположить, что числа $a$ и $b$ не равны нулю (что является стандартным допущением для таких задач), мы можем разделить обе части уравнения на произведение $ab$:

$НОД(a, b) = \frac{ab}{ab}$

$НОД(a, b) = 1$

Это означает, что Наибольший Общий Делитель чисел $a$ и $b$ равен единице. Числа, для которых НОД равен 1, называются взаимно простыми. Это значит, что у них нет общих простых делителей, кроме 1.

Например, для чисел 4 и 9: они взаимно простые, так как $НОД(4, 9) = 1$. Их НОК равен 36, что совпадает с их произведением $4 \cdot 9 = 36$.

Для чисел 6 и 9: они не являются взаимно простыми, так как $НОД(6, 9) = 3$. Их НОК равен 18, что не равно их произведению $6 \cdot 9 = 54$.

Таким образом, условие $НОК(a, b) = ab$ выполняется тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми.

Ответ: Числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми.