Номер 693, страница 141, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

693 Докажи истинность равенства $НОК (18, 24) \cdot НОД (18, 24) = 18 \cdot 24$.

Проверь, выполняется ли оно для чисел 42 и 70, а потом ещё для каких-нибудь двух чисел, которые ты возьмёшь по собственному усмотрению. Сформулируй гипотезу. Можно ли на основании рассмотренных примеров утверждать, что это свойство выполняется для всех натуральных чисел?

Доказательство истинности равенства для чисел 18 и 24

Чтобы доказать равенство $НОК(18, 24) \cdot НОД(18, 24) = 18 \cdot 24$, необходимо сначала найти Наибольший Общий Делитель (НОД) и Наименьшее Общее Кратное (НОК) для этих чисел.

1. Разложим числа 18 и 24 на простые множители:
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

2. Найдем НОД(18, 24). Для этого возьмем общие простые множители в наименьшей степени, в которой они встречаются в разложениях: $НОД(18, 24) = 2^1 \cdot 3^1 = 6$.

3. Найдем НОК(18, 24). Для этого возьмем все простые множители из обоих разложений в наибольшей степени: $НОК(18, 24) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

4. Проверим исходное равенство, подставив найденные значения:
Левая часть: $НОК(18, 24) \cdot НОД(18, 24) = 72 \cdot 6 = 432$.
Правая часть: $18 \cdot 24 = 432$.

Поскольку левая и правая части равны ($432 = 432$), равенство истинно.

Ответ: равенство доказано, так как $72 \cdot 6 = 432$ и $18 \cdot 24 = 432$.

Проверка выполнения равенства для чисел 42 и 70

Проверим, выполняется ли равенство $НОК(42, 70) \cdot НОД(42, 70) = 42 \cdot 70$.

1. Разложим числа на простые множители:
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$

2. Найдем НОД и НОК:
$НОД(42, 70) = 2 \cdot 7 = 14$.
$НОК(42, 70) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$.

3. Проверим равенство:
Левая часть: $НОК(42, 70) \cdot НОД(42, 70) = 210 \cdot 14 = 2940$.
Правая часть: $42 \cdot 70 = 2940$.

Равенство $2940 = 2940$ выполняется.

Ответ: да, для чисел 42 и 70 равенство выполняется.

Проверка выполнения равенства для другой пары чисел

Возьмем по собственному усмотрению числа 15 и 25. Проверим для них равенство $НОК(15, 25) \cdot НОД(15, 25) = 15 \cdot 25$.

1. Разложим числа на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$

2. Найдем НОД и НОК:
$НОД(15, 25) = 5$.
$НОК(15, 25) = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$.

3. Проверим равенство:
Левая часть: $НОК(15, 25) \cdot НОД(15, 25) = 75 \cdot 5 = 375$.
Правая часть: $15 \cdot 25 = 375$.

Равенство $375 = 375$ выполняется.

Ответ: да, для произвольно выбранной пары чисел 15 и 25 равенство выполняется.

Гипотеза и вывод

На основе рассмотренных примеров можно сформулировать следующую гипотезу: для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ произведение их Наименьшего Общего Кратного и Наибольшего Общего Делителя равно произведению самих этих чисел. Формула гипотезы:

$НОК(a, b) \cdot НОД(a, b) = a \cdot b$.

На вопрос "Можно ли на основании рассмотренных примеров утверждать, что это свойство выполняется для всех натуральных чисел?" следует ответить отрицательно. В математике для доказательства общего утверждения недостаточно привести несколько частных примеров, даже если их очень много. Примеры лишь позволяют выдвинуть гипотезу. Чтобы доказать, что свойство выполняется для всех натуральных чисел, требуется строгое математическое доказательство, которое рассматривает общий случай, а не конкретные числа. Такое доказательство существует в теории чисел, но оно выходит за рамки проверки на примерах.

Ответ: гипотеза состоит в том, что $НОК(a, b) \cdot НОД(a, b) = a \cdot b$ для любых натуральных $a$ и $b$. Утверждать это на основании только рассмотренных примеров нельзя, так как примеры не являются строгим математическим доказательством.