Номер 699, страница 142, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

699 Определи истинность высказываний.

1) Два чётных числа не могут быть взаимно простыми.

2) Чётное и нечётное числа всегда взаимно простые.

3) Два различных простых числа являются взаимно простыми.

4) Два составных числа не могут быть взаимно простыми.

5) Два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые.

6) Если число $m$ делится на число $n$, то $\text{НОД}(m, n) = m$.

1) Два чётных числа не могут быть взаимно простыми.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Любое чётное число по определению делится на 2. Пусть у нас есть два чётных числа $a$ и $b$. Это означает, что $a = 2k_1$ и $b = 2k_2$, где $k_1$ и $k_2$ — целые числа. Поскольку оба числа делятся на 2, то 2 является их общим делителем. Следовательно, их наибольший общий делитель будет не меньше 2: $\text{НОД}(a, b) \ge 2$. Так как НОД не равен 1, два чётных числа не могут быть взаимно простыми. Утверждение истинно.
Ответ: истинно.

2) Чётное и нечётное числа всегда взаимно простые.

Это утверждение неверно. Чтобы его опровергнуть, достаточно привести один контрпример. Возьмём чётное число 6 и нечётное число 9. Найдём их наибольший общий делитель. Делители числа 6: {1, 2, 3, 6}. Делители числа 9: {1, 3, 9}. Общие делители: {1, 3}. Наибольший общий делитель $\text{НОД}(6, 9) = 3$. Поскольку НОД не равен 1, числа 6 и 9 не являются взаимно простыми. Таким образом, не всегда чётное и нечётное числа взаимно простые.
Ответ: ложно.

3) Два различных простых числа являются взаимно простыми.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Пусть $p_1$ и $p_2$ — два различных простых числа. Множество делителей числа $p_1$ — это $\{1, p_1\}$. Множество делителей числа $p_2$ — это $\{1, p_2\}$. Поскольку $p_1 \neq p_2$, единственным общим делителем для этих двух чисел является 1. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1: $\text{НОД}(p_1, p_2) = 1$. Это означает, что они взаимно простые. Утверждение истинно.
Ответ: истинно.

4) Два составных числа не могут быть взаимно простыми.

Составное число — это натуральное число больше 1, не являющееся простым (т.е. имеющее более двух делителей). Это утверждение ложно. Приведём контрпример. Возьмём два составных числа: 4 и 9. Число 4 является составным, его делители {1, 2, 4}. Число 9 также является составным, его делители {1, 3, 9}. Единственный общий делитель этих чисел — 1, поэтому $\text{НОД}(4, 9) = 1$. Числа 4 и 9 являются взаимно простыми. Таким образом, два составных числа могут быть взаимно простыми.
Ответ: ложно.

5) Два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые.

Пусть у нас есть два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$. Предположим, что у них есть общий делитель $d > 1$. Если $d$ делит $n$ и $d$ делит $n+1$, то $d$ должен делить и их разность: $(n+1) - n = 1$. Но единственный натуральный делитель числа 1 — это само число 1. Следовательно, единственный общий положительный делитель чисел $n$ и $n+1$ — это 1. Значит, $\text{НОД}(n, n+1) = 1$ для любого натурального $n$. Утверждение истинно.
Ответ: истинно.

6) Если число m делится на число n, то НОД (m, n) = m.

Наибольший общий делитель двух чисел не может быть больше меньшего из этих чисел. Если число $m$ делится на число $n$ (и оба числа натуральные), это означает, что $m \ge n$. Утверждение, что $\text{НОД}(m, n) = m$, было бы верным только в случае $m=n$. Рассмотрим пример: $m=12$ и $n=4$. Число 12 делится на 4. Найдём $\text{НОД}(12, 4)$. Делители 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Делители 4: {1, 2, 4}. Их наибольший общий делитель равен 4. Таким образом, $\text{НОД}(12, 4) = 4$, что равно $n$, а не $m$. Правильное утверждение: если число $m$ делится на число $n$, то $\text{НОД}(m, n) = n$. Следовательно, исходное утверждение ложно.
Ответ: ложно.