Номер 692, страница 141, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

692 1) Не выполняя вычислений, опровергни утверждение:

$ \text{НОК} (352, 10692) = 704 $

2) Объясни, почему наименьшее общее кратное двух чисел не может быть меньше любого из них.

1)

Чтобы опровергнуть утверждение НОК(352, 10 692) = 704 без выполнения полных вычислений, необходимо вспомнить определение наименьшего общего кратного (НОК).
По определению, НОК двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится нацело на каждое из этих чисел. Это значит, что НОК должно быть кратно как числу 352, так и числу 10 692.
В данном утверждении предполагаемое НОК равно 704. Проверим, может ли 704 быть общим кратным.
Число 704 кратно 352, так как $704 = 352 \cdot 2$.
Однако, чтобы число 704 было кратным числу 10 692, оно должно делиться на него без остатка. Это невозможно, так как 704 меньше, чем 10 692. Кратное натурального числа (кроме нуля) не может быть меньше самого этого числа.
Следовательно, 704 не является общим кратным для 352 и 10 692, а значит, не может быть их НОК.
Ответ: Утверждение неверно, так как наименьшее общее кратное не может быть меньше одного из чисел, для которых оно находится, а в данном случае $704 < 10 692$.

2)

Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел a и b по определению является их общим кратным. Это означает, что НОК должно делиться и на a, и на b без остатка.
Пусть M — это НОК чисел a и b.
Так как M является кратным числа a, то существует такое натуральное число $k_1$, что выполняется равенство:
$M = a \cdot k_1$
Поскольку мы рассматриваем натуральные числа, $a > 0$ и $M > 0$, то и множитель $k_1$ должен быть натуральным числом, то есть $k_1 \ge 1$.
Если $k_1 \ge 1$, то $a \cdot k_1 \ge a \cdot 1$, что означает $M \ge a$.
Аналогично, так как M является кратным числа b, существует такое натуральное число $k_2 \ge 1$, что:
$M = b \cdot k_2$
Из этого следует, что $M \ge b$.
Таким образом, наименьшее общее кратное двух чисел всегда больше или равно каждому из этих чисел. Оно не может быть меньше ни одного из них.
Ответ: По определению, НОК чисел a и b является их кратным. Кратное числа a, которое находится умножением a на натуральное число ($k \ge 1$), не может быть меньше самого числа a. Это же справедливо и для числа b.