Номер 698, страница 142, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

698 При помощи разложения чисел на простые множители определи, во сколько раз:

а) 10 584 больше 168;

б) 525 меньше 13 125.

а) Чтобы определить, во сколько раз число 10 584 больше числа 168, необходимо найти их частное. Для этого, согласно условию, разложим оба числа на простые множители.

Разложение числа 10 584 на простые множители:
$10584 | 2$
$5292 | 2$
$2646 | 2$
$1323 | 3$
$441 | 3$
$147 | 3$
$49 | 7$
$7 | 7$
$1$
Следовательно, $10584 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 7^2$.

Разложение числа 168 на простые множители:
$168 | 2$
$84 | 2$
$42 | 2$
$21 | 3$
$7 | 7$
$1$
Следовательно, $168 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$.

Теперь найдем отношение, подставив в дробь разложения на множители и сократив ее:
$\frac{10584}{168} = \frac{2^3 \cdot 3^3 \cdot 7^2}{2^3 \cdot 3 \cdot 7} = 2^{3-3} \cdot 3^{3-1} \cdot 7^{2-1} = 2^0 \cdot 3^2 \cdot 7^1 = 1 \cdot 9 \cdot 7 = 63$.
Ответ: в 63 раза.

б) Чтобы определить, во сколько раз число 525 меньше числа 13 125, нужно найти частное от деления большего числа на меньшее. Разложим оба числа на простые множители.

Разложение числа 13 125 на простые множители:
$13125 | 3$
$4375 | 5$
$875 | 5$
$175 | 5$
$35 | 5$
$7 | 7$
$1$
Следовательно, $13125 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 3 \cdot 5^4 \cdot 7$.

Разложение числа 525 на простые множители:
$525 | 3$
$175 | 5$
$35 | 5$
$7 | 7$
$1$
Следовательно, $525 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$.

Теперь найдем отношение:
$\frac{13125}{525} = \frac{3 \cdot 5^4 \cdot 7}{3 \cdot 5^2 \cdot 7} = 3^{1-1} \cdot 5^{4-2} \cdot 7^{1-1} = 3^0 \cdot 5^2 \cdot 7^0 = 1 \cdot 25 \cdot 1 = 25$.
Ответ: в 25 раз.