Номер 695, страница 141, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

695 На кольцевой дорожке длиной 360 м проводится эстафета, длина каждого этапа которой 150 м. Старт и финиш находятся в одном и том же месте. Какое наименьшее число этапов может быть в этой эстафете?

Пусть $n$ — искомое наименьшее число этапов. Длина одного этапа составляет 150 м, значит, общая длина всей эстафеты равна $150 \times n$ метров.

По условию, эстафета проводится на кольцевой дорожке длиной 360 м, а старт и финиш находятся в одной и той же точке. Это означает, что общая длина эстафеты должна быть кратна длине дорожки. То есть, общая дистанция $150 \times n$ должна делиться на 360 без остатка.

Таким образом, мы ищем наименьшее натуральное число $n$, для которого произведение $150 \times n$ является кратным 360. Это означает, что общая дистанция должна быть равна наименьшему общему кратному (НОК) чисел 150 и 360.

Найдем НОК(150, 360). Для этого разложим оба числа на простые множители:

$150 = 15 \times 10 = (3 \times 5) \times (2 \times 5) = 2 \times 3 \times 5^2$

$360 = 36 \times 10 = (6 \times 6) \times (2 \times 5) = (2 \times 3) \times (2 \times 3) \times 2 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:

$НОК(150, 360) = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = 72 \times 25 = 1800$

Итак, наименьшая возможная длина эстафеты составляет 1800 м. Теперь найдем, сколько этапов для этого потребуется, разделив общую дистанцию на длину одного этапа:

$n = \frac{1800}{150} = \frac{180}{15} = 12$

Следовательно, наименьшее число этапов в эстафете равно 12. При этом участники пробегут $1800 / 360 = 5$ полных кругов.

Ответ: 12.