Номер 689, страница 141, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

689 Докажи, что данные числа – взаимно простые, и найди их наименьшее общее кратное:

1) 4 и 125;

2) 33 и 1000;

3) 111 и 200;

4) 18 и 1001.

1) 4 и 125
Чтобы доказать, что два числа являются взаимно простыми, необходимо показать, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для этого разложим оба числа на простые множители.
Разложение числа 4 на простые множители: $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$.
Разложение числа 125 на простые множители: $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.
Так как у чисел 4 и 125 нет общих простых множителей, их НОД равен 1. Это доказывает, что числа являются взаимно простыми.
Наименьшее общее кратное (НОК) для взаимно простых чисел равно их произведению.
$НОК(4, 125) = 4 \cdot 125 = 500$.
Ответ: 500.

2) 33 и 1000
Разложим числа 33 и 1000 на простые множители.
Разложение числа 33: $33 = 3 \cdot 11$.
Разложение числа 1000: $1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$.
У чисел 33 и 1000 нет общих простых множителей, поэтому их НОД равен 1. Следовательно, числа 33 и 1000 взаимно простые.
Найдем их наименьшее общее кратное, которое для взаимно простых чисел равно их произведению.
$НОК(33, 1000) = 33 \cdot 1000 = 33000$.
Ответ: 33000.

3) 111 и 200
Выполним разложение чисел на простые множители.
Разложение числа 111: $111 = 3 \cdot 37$.
Разложение числа 200: $200 = 2 \cdot 100 = 2 \cdot 10^2 = 2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^3 \cdot 5^2$.
Общие простые множители отсутствуют, значит $НОД(111, 200) = 1$. Числа 111 и 200 являются взаимно простыми.
Их наименьшее общее кратное равно их произведению.
$НОК(111, 200) = 111 \cdot 200 = 22200$.
Ответ: 22200.

4) 18 и 1001
Разложим числа 18 и 1001 на простые множители.
Разложение числа 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$.
Разложение числа 1001: $1001 = 7 \cdot 143 = 7 \cdot 11 \cdot 13$.
У данных чисел нет общих простых множителей, следовательно, их $НОД(18, 1001) = 1$. Это доказывает, что числа 18 и 1001 взаимно простые.
Наименьшее общее кратное этих чисел найдем, перемножив их.
$НОК(18, 1001) = 18 \cdot 1001 = 18018$.
Ответ: 18018.