Номер 686, страница 140, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

686 Найди наименьшее общее кратное чисел методом разложения на простые множители:

1) 28 и 35;

2) 16 и 56;

3) 21 и 100;

4) 18 и 162;

5) 264 и 300;

6) 360 и 1020;

7) 72, 90 и 96;

8) 58, 87 и 435.

1) 28 и 35;
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, необходимо разложить их на простые множители.
Разложим число 28: $28 = 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.
Разложим число 35: $35 = 5 \cdot 7$.
Для нахождения НОК нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.
В наших разложениях есть множители 2, 5 и 7. Наибольшая степень для 2 - это $2^2$, для 5 - это $5^1$, для 7 - это $7^1$.
$НОК(28, 35) = 2^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.
Ответ: 140.

2) 16 и 56;
Разложим числа 16 и 56 на простые множители.
$16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.
$56 = 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$.
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя: $2^4$ и $7^1$.
$НОК(16, 56) = 2^4 \cdot 7 = 16 \cdot 7 = 112$.
Ответ: 112.

3) 21 и 100;
Разложим числа 21 и 100 на простые множители.
$21 = 3 \cdot 7$.
$100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$.
У этих чисел нет общих простых множителей (они взаимно простые), поэтому их НОК равен их произведению.
$НОК(21, 100) = (3 \cdot 7) \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 21 \cdot 100 = 2100$.
Ответ: 2100.

4) 18 и 162;
Разложим числа 18 и 162 на простые множители.
$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$.
$162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4$.
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя: $2^1$ и $3^4$.
$НОК(18, 162) = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$.
Можно также заметить, что 162 делится на 18 ($162 = 18 \cdot 9$), поэтому НОК этих чисел равен большему из них.
Ответ: 162.

5) 264 и 300;
Разложим числа 264 и 300 на простые множители.
$264 = 2 \cdot 132 = 2^2 \cdot 66 = 2^3 \cdot 33 = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$.
$300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 10^2 = 3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя: $2^3$, $3^1$, $5^2$ и $11^1$.
$НОК(264, 300) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 11 = 8 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 11 = 6600$.
Ответ: 6600.

6) 360 и 1020;
Разложим числа 360 и 1020 на простые множители.
$360 = 36 \cdot 10 = (2^2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$.
$1020 = 102 \cdot 10 = (2 \cdot 51) \cdot (2 \cdot 5) = (2 \cdot 3 \cdot 17) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 17$.
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя: $2^3$, $3^2$, $5^1$ и $17^1$.
$НОК(360, 1020) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 17 = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 17 = 6120$.
Ответ: 6120.

7) 72, 90 и 96;
Разложим числа 72, 90 и 96 на простые множители.
$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$.
$90 = 9 \cdot 10 = 3^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$.
$96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$.
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя: $2^5$, $3^2$ и $5^1$.
$НОК(72, 90, 96) = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 = 32 \cdot 9 \cdot 5 = 1440$.
Ответ: 1440.

8) 58, 87 и 435.
Разложим числа 58, 87 и 435 на простые множители.
$58 = 2 \cdot 29$.
$87 = 3 \cdot 29$.
$435 = 5 \cdot 87 = 5 \cdot 3 \cdot 29$.
Выбираем все простые множители в их наибольших степенях: $2^1$, $3^1$, $5^1$ и $29^1$.
$НОК(58, 87, 435) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29 = 30 \cdot 29 = 870$.
Ответ: 870.