Номер 685, страница 140, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

685 Даны разложения чисел на простые множители. Найди их наименьшее общее кратное:

1) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$, $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11$;

2) $a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13$, $b = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$;

3) $a = 2 \cdot 3 \cdot 7$, $b = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$, $c = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$;

4) $a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$, $b = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$, $c = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17$.

1)

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, разложенных на простые множители, нужно для каждого простого множителя, встречающегося в разложениях, взять его наибольшую степень и перемножить полученные степени.

Даны разложения:

$a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 7^1$

$b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11^1$

Простые множители, которые встречаются в разложениях: 2, 3, 5, 7, 11.

Выберем для каждого множителя наибольшую степень:

Для множителя 2 - это $2^2$ (из числа $a$).

Для множителя 3 - это $3^3$ (из числа $a$).

Для множителя 5 - это $5^2$ (из числа $b$).

Для множителя 7 - это $7^1$ (из числа $a$).

Для множителя 11 - это $11^1$ (из числа $b$).

Теперь перемножим их, чтобы найти НОК:

$НОК(a, b) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1$

Выполним вычисление: $4 \cdot 27 \cdot 25 \cdot 7 \cdot 11 = (4 \cdot 25) \cdot (27 \cdot 7 \cdot 11) = 100 \cdot 189 \cdot 11 = 100 \cdot 2079 = 207900$.

Ответ: 207900.

2)

Даны разложения:

$a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^3 \cdot 13^1$

$b = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 2^3 \cdot 5^2 \cdot 7^1$

Простые множители, которые встречаются в разложениях: 2, 3, 5, 7, 13.

Выберем для каждого множителя наибольшую степень:

Для множителя 2 - это $2^3$ (из числа $b$).

Для множителя 3 - это $3^1$ (из числа $a$).

Для множителя 5 - это $5^3$ (из числа $a$).

Для множителя 7 - это $7^1$ (из числа $b$).

Для множителя 13 - это $13^1$ (из числа $a$).

Теперь перемножим их, чтобы найти НОК:

$НОК(a, b) = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^3 \cdot 7^1 \cdot 13^1$

Выполним вычисление: $8 \cdot 3 \cdot 125 \cdot 7 \cdot 13 = (8 \cdot 125) \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = 1000 \cdot 21 \cdot 13 = 21000 \cdot 13 = 273000$.

Ответ: 273000.

3)

Даны разложения:

$a = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1$

$b = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1$

$c = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19 = 2^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \cdot 19^1$

Простые множители, которые встречаются в разложениях: 2, 3, 5, 7, 19.

Выберем для каждого множителя наибольшую степень:

Для множителя 2 - это $2^2$ (из числа $b$).

Для множителя 3 - это $3^1$ (из числа $a$).

Для множителя 5 - это $5^2$ (из числа $c$).

Для множителя 7 - это $7^1$ (встречается во всех числах).

Для множителя 19 - это $19^1$ (из числа $c$).

Теперь перемножим их, чтобы найти НОК:

$НОК(a, b, c) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \cdot 19^1 = 4 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 7 \cdot 19$

Выполним вычисление: $(4 \cdot 25) \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19 = 100 \cdot 21 \cdot 19 = 2100 \cdot 19 = 39900$.

Ответ: 39900.

4)

Даны разложения:

$a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1$

$b = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5^1$

$c = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 17^1$

Простые множители, которые встречаются в разложениях: 2, 3, 5, 7, 17.

Выберем для каждого множителя наибольшую степень:

Для множителя 2 - это $2^4$ (из числа $b$).

Для множителя 3 - это $3^2$ (из числа $a$).

Для множителя 5 - это $5^1$ (из чисел $a$ и $b$).

Для множителя 7 - это $7^1$ (из числа $a$).

Для множителя 17 - это $17^1$ (из числа $c$).

Теперь перемножим их, чтобы найти НОК:

$НОК(a, b, c) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 17^1 = 16 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17$

Выполним вычисление: $16 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17 = 144 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17 = 720 \cdot 7 \cdot 17 = 5040 \cdot 17 = 85680$.

Ответ: 85680.