Номер 682, страница 139, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

682 Когда «послезавтра» станет «вчера», то «сегодня» будет так же далеко от воскресенья, как тот день, который был «сегодня», когда «вчера» было «завтра». Какой сегодня день недели?

Для решения этой логической задачи представим временную шкалу в виде числовой оси, где «сегодня» — это точка отсчета, а дни недели можно пронумеровать. Давайте разберем условие по частям.

Решение

Обозначим искомый день «сегодня» как $T_0$. Будем считать дни недели числами от 0 до 6, где Воскресенье = 0, Понедельник = 1, Вторник = 2, Среда = 3, Четверг = 4, Пятница = 5, Суббота = 6.

1. Анализ первой части условия: «Когда «послезавтра» станет «вчера», то «сегодня» ...»

Эта фраза описывает сдвиг в будущее. «Послезавтра» по отношению к $T_0$ — это день $T_0 + 2$ дня. Нам нужно найти такой момент времени, когда этот день ($T_0 + 2$) будет восприниматься как «вчера». Если некий день $D$ — это «вчера», то «сегодня» в этот момент времени будет $D + 1$ день. Следовательно, новое «сегодня» наступит через $(T_0 + 2) + 1 = T_0 + 3$ дня. Обозначим этот будущий день как $D_1$. Итак, $D_1 = T_0 + 3$.

2. Анализ второй части условия: «...так же далеко от воскресенья, как тот день, который был «сегодня», когда «вчера» было «завтра».»

Эта часть определяет второй день, $D_2$, который симметричен $D_1$ относительно воскресенья. Давайте разберем фразу «когда «вчера» было «завтра»». Она описывает сдвиг во времени, аналогичный первому. Пусть исходный день — $T$. «Вчера» по отношению к нему — это $T - 1$ день. Мы хотим найти момент, когда этот день ($T-1$) будет восприниматься как «завтра». Если день $D$ — это «завтра», то «сегодня» в этот момент — это $D - 1$ день. Значит, новое «сегодня» наступит в день $(T - 1) - 1 = T - 2$ дня. Таким образом, эта фраза описывает сдвиг на 2 дня в прошлое. День $D_2$ — это результат этого сдвига, примененного к исходному «сегодня» $T_0$. Итак, $D_2 = T_0 - 2$.

3. Составление и решение уравнения.

Условие задачи гласит, что дни $D_1$ и $D_2$ находятся на одинаковом расстоянии от воскресенья. Это означает, что они либо совпадают, либо симметричны относительно воскресенья на недельном круге. Давайте проверим, могут ли они совпадать:

$T_0 + 3 = T_0 - 2$

$3 = -2$, что неверно. Значит, дни не совпадают.

Следовательно, они симметричны относительно воскресенья. Если мы приняли Воскресенье за 0, то для числовых значений дней $d_1$ и $d_2$ должно выполняться равенство $d_1 = -d_2 \pmod{7}$.

Пусть $t_0$ — числовое значение дня $T_0$. Тогда:

$d_1 = t_0 + 3$

$d_2 = t_0 - 2$

Подставим в уравнение симметрии:

$(t_0 + 3) \equiv -(t_0 - 2) \pmod{7}$

$t_0 + 3 \equiv -t_0 + 2 \pmod{7}$

Перенесем $-t_0$ в левую часть, а 3 в правую:

$2t_0 \equiv 2 - 3 \pmod{7}$

$2t_0 \equiv -1 \pmod{7}$

Так как $-1 \equiv 6 \pmod{7}$, получаем:

$2t_0 \equiv 6 \pmod{7}$

Разделив обе части на 2, находим $t_0$:

$t_0 \equiv 3 \pmod{7}$

В нашей нумерации число 3 соответствует среде.

Проверим решение: если сегодня Среда ($t_0=3$), то:

$D_1 =$ Среда + 3 дня = Суббота.

$D_2 =$ Среда - 2 дня = Понедельник.

Расстояние от Субботы до Воскресенья — 1 день. Расстояние от Понедельника до Воскресенья — тоже 1 день. Условие выполняется.

Ответ: сегодня — среда.