Номер 853, страница 173, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

853 Математическое исследование

1) Построй произвольную окружность. Проведи её диаметр $AB$ и хорду $MN$, перпендикулярную диаметру. Какую закономерность ты наблюдаешь? Повтори эксперимент ещё 2 раза. Сформулируй гипотезу.

2) Построй произвольную окружность и проведи две параллельные хорды $AB$ и $CD$ этой окружности. Проведи и сравни хорды $AC$ и $BD$. Что ты наблюдаешь? Повтори эксперимент ещё 2 раза. Сформулируй гипотезу.

1)

Построим произвольную окружность с центром в точке $O$. Проведем ее диаметр $AB$ и хорду $MN$, которая перпендикулярна диаметру $AB$. Пусть точка их пересечения будет $P$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OMP$ и $\triangle ONP$.

1. $OM = ON$ как радиусы одной и той же окружности.

2. Сторона $OP$ является общей для обоих треугольников.

3. Поскольку по условию $AB \perp MN$, то углы $\angle OPM$ и $\angle OPN$ являются прямыми, т.е. $\angle OPM = \angle OPN = 90^\circ$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OMP$ и $\triangle ONP$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов:

- $MP = NP$. Это означает, что точка пересечения $P$ делит хорду $MN$ пополам.

- $\angle MOP = \angle NOP$. Эти углы являются центральными. Равные центральные углы стягивают равные дуги. Следовательно, дуга $AM$ равна дуге $AN$ (если считать от точки $A$, ближайшей к хорде) и дуга $BM$ равна дуге $BN$.

При повторении эксперимента с другими окружностями, диаметрами и хордами (при сохранении условия перпендикулярности) мы будем наблюдать ту же самую закономерность: диаметр делит перпендикулярную ему хорду на два равных отрезка, а также делит пополам обе дуги, стягиваемые этой хордой.

Гипотеза: Если диаметр окружности перпендикулярен хорде, то он делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.

Ответ: Закономерность заключается в том, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Гипотеза: диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

2)

Построим произвольную окружность и проведем в ней две параллельные хорды $AB$ и $CD$. Затем соединим их концы, чтобы получить хорды $AC$ и $BD$.

Сравнивая длины хорд $AC$ и $BD$ (например, с помощью циркуля или линейки), мы наблюдаем, что их длины равны: $AC = BD$.

Чтобы объяснить эту закономерность, воспользуемся свойством дуг, заключенных между параллельными хордами. Проведем дополнительную хорду $AD$. Так как хорды $AB$ и $CD$ параллельны, то внутренние накрест лежащие углы при секущей $AD$ равны: $\angle CDA = \angle DAB$.

Эти углы являются вписанными в окружность. Вписанный угол $\angle CDA$ опирается на дугу $AC$. Вписанный угол $\angle DAB$ опирается на дугу $BD$. Так как вписанные углы равны, то и дуги, на которые они опираются, равны между собой:

$\text{дуга } AC = \text{дуга } BD$

В одной и той же окружности равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, хорда $AC$ равна хорде $BD$.

Фигура, образованная точками $A, C, D, B$ — это вписанная в окружность трапеция. Так как ее боковые стороны ($AC$ и $BD$) равны, это равнобокая трапеция.

При повторении эксперимента с другим расположением параллельных хорд мы каждый раз будем получать, что хорды, соединяющие их концы, равны.

Гипотеза: Дуги, заключенные между двумя параллельными хордами, равны. Как следствие, хорды, которые соединяют концы двух параллельных хорд, равны между собой.

Ответ: Наблюдается, что хорды $AC$ и $BD$ равны. Гипотеза: в окружности дуги, заключенные между параллельными хордами, равны, и, как следствие, хорды, соединяющие концы этих параллельных хорд, также равны.