Номер 1, страница 7, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

K1 Какие высказывания истинны, а какие — ложны? Какие — общие, а какие — типа «хотя бы один»?

а) Любое натуральное число в десятичной позиционной системе счисления можно записать с помощью десяти цифр.

б) Некоторые натуральные числа записываются с помощью трёх цифр.

в) Из двух натуральных чисел больше то, у которого больше первая цифра.

г) Некоторые четырёхзначные натуральные числа больше некоторых пятизначных натуральных чисел.

д) Существует наименьшее натуральное число.

е) Существует наибольшее натуральное число.

ж) Все натуральные числа больше единицы.

з) Каждое натуральное число на единицу меньше следующего за ним.

и) Натуральное число может быть больше своего квадрата.

а) Это высказывание истинно. Десятичная система счисления по определению использует десять цифр (от 0 до 9) для записи любого числа. Высказывание является общим, так как оно утверждает свойство для любого натурального числа.
Ответ: истинное, общее.

б) Это высказывание истинно. Например, числа 100, 123, 987 являются натуральными и записываются с помощью трёх цифр. Так как достаточно найти хотя бы один пример, утверждение верно. Высказывание относится к типу «хотя бы один», так как используется слово некоторые.
Ответ: истинное, типа «хотя бы один».

в) Это высказывание ложно. Данное правило работает только при сравнении чисел с одинаковым количеством знаков. Например, при сравнении чисел 9 и 10, первая цифра у 9 больше (9 > 1), но само число 10 больше, чем 9. Высказывание является общим, так как пытается установить правило для любой пары натуральных чисел.
Ответ: ложное, общее.

г) Это высказывание ложно. Наибольшее четырёхзначное натуральное число — это 9999. Наименьшее пятизначное натуральное число — это 10000. Любое четырёхзначное число всегда меньше любого пятизначного числа. Высказывание относится к типу «хотя бы один», так как утверждает существование некоторых чисел с данным свойством.
Ответ: ложное, типа «хотя бы один».

д) Это высказывание истинно. Наименьшим натуральным числом является 1. Высказывание относится к типу «хотя бы один», так как говорит о существовании такого числа.
Ответ: истинное, типа «хотя бы один».

е) Это высказывание ложно. Ряд натуральных чисел бесконечен. Для любого натурального числа $n$ можно назвать число больше, например, $n+1$. Следовательно, самого большого числа не существует. Высказывание относится к типу «хотя бы один», так как говорит о существовании.
Ответ: ложное, типа «хотя бы один».

ж) Это высказывание ложно. Натуральное число 1 не больше единицы, а равно ей. Так как есть хотя бы одно исключение, общее утверждение неверно. Высказывание является общим, так как используется слово все.
Ответ: ложное, общее.

з) Это высказывание истинно. Для любого натурального числа $n$ следующее за ним число равно $n+1$. Их разность составляет $(n+1) - n = 1$, что и утверждается в высказывании. Высказывание является общим, так как используется слово каждое.
Ответ: истинное, общее.

и) Это высказывание ложно. Требуется найти натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n > n^2$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n > 0$, и мы можем разделить обе части неравенства на $n$, не меняя знака: $1 > n$. В множестве натуральных чисел $\{1, 2, 3, ...\}$ нет чисел, меньших единицы. Высказывание относится к типу «хотя бы один», так как оборот «может быть» предполагает существование хотя бы одного примера.
Ответ: ложное, типа «хотя бы один».