Номер 8, страница 8, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

8 Запиши в тетрадь буквенные равенства, выражающие свойства сложения и умножения: переместительное, сочетательное, распределительное, и объясни их смысл. Используя эти свойства, реши примеры наиболее удобным способом:

1) $201 + 202 + 203 + 204 + 205 + 206 + 207 + 208 + 209;$

2) $400 + (24589 + 927) + (3600 + 73 + 411);$

3) $4 \cdot 5 \cdot 376 \cdot 2 \cdot 25 \cdot 5 \cdot 2;$

4) $2 \cdot (14 \cdot 2 \cdot 8) \cdot (125 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5);$

5) $974 \cdot 385 + 5 \cdot 385 + 385 \cdot 21;$

6) $5084 \cdot 23 + 5084 + 976 \cdot 5084.$

Сначала запишем буквенные равенства, выражающие свойства сложения и умножения, и объясним их смысл.

• Переместительное свойство (коммутативность)

  Для сложения: $a + b = b + a$. Смысл: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

  Для умножения: $a \cdot b = b \cdot a$. Смысл: от перемены мест множителей произведение не меняется.

• Сочетательное свойство (ассоциативность)

  Для сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Смысл: при сложении нескольких чисел их можно группировать в любом порядке, результат от этого не изменится.

  Для умножения: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Смысл: при умножении нескольких чисел их можно группировать в любом порядке, результат от этого не изменится.

• Распределительное свойство (дистрибутивность)

  Относительно сложения: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Смысл: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные произведения. Это свойство также позволяет выносить общий множитель за скобки в обратную сторону: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$.

Теперь, используя эти свойства, решим примеры наиболее удобным способом.

1) $201 + 202 + 203 + 204 + 205 + 206 + 207 + 208 + 209$
Применяя переместительное и сочетательное свойства сложения, сгруппируем слагаемые так, чтобы их было легче складывать. Сгруппируем первое и последнее число, второе и предпоследнее, и так далее.
$(201 + 209) + (202 + 208) + (203 + 207) + (204 + 206) + 205 = 410 + 410 + 410 + 410 + 205$
Теперь сложим полученные числа:
$4 \cdot 410 + 205 = 1640 + 205 = 1845$
Ответ: 1845

2) $400 + (24589 + 927) + (3600 + 73 + 411)$
Используя сочетательное свойство, мы можем убрать скобки, так как в выражении только сложение. Затем, используя переместительное свойство, сгруппируем числа так, чтобы получить "круглые" суммы.
$400 + 24589 + 927 + 3600 + 73 + 411 = (400 + 3600) + (24589 + 411) + (927 + 73)$
$= 4000 + 25000 + 1000 = 30000$
Ответ: 30000

3) $4 \cdot 5 \cdot 376 \cdot 2 \cdot 25 \cdot 5 \cdot 2$
Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, перегруппируем множители так, чтобы получить произведения, равные 10, 100, 1000 и т.д.
$(4 \cdot 25) \cdot (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \cdot 376 = 100 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 376$
$= 10000 \cdot 376 = 3760000$
Ответ: 3760000

4) $2 \cdot (14 \cdot 2 \cdot 8) \cdot (125 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5)$
Используя сочетательное свойство умножения, мы можем убрать скобки. Затем, используя переместительное свойство, сгруппируем множители для удобного вычисления.
$2 \cdot 14 \cdot 2 \cdot 8 \cdot 125 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5 = (8 \cdot 125) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (14 \cdot 3)$
$= 1000 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 42 = 100000 \cdot 42 = 4200000$
Ответ: 4200000

5) $974 \cdot 385 + 5 \cdot 385 + 385 \cdot 21$
Используем распределительное свойство, чтобы вынести общий множитель 385 за скобки. Для удобства применим переместительное свойство к последнему члену: $385 \cdot 21 = 21 \cdot 385$.
$974 \cdot 385 + 5 \cdot 385 + 21 \cdot 385 = (974 + 5 + 21) \cdot 385$
Складываем числа в скобках:
$974 + 5 + 21 = 979 + 21 = 1000$
Получаем:
$1000 \cdot 385 = 385000$
Ответ: 385000

6) $5084 \cdot 23 + 5084 + 976 \cdot 5084$
В этом выражении есть общий множитель 5084. Заметим, что слагаемое 5084 можно представить как $5084 \cdot 1$.
$5084 \cdot 23 + 5084 \cdot 1 + 976 \cdot 5084$
Теперь вынесем общий множитель 5084 за скобки, используя распределительное свойство:
$5084 \cdot (23 + 1 + 976)$
Складываем числа в скобках:
$23 + 1 + 976 = 24 + 976 = 1000$
Получаем:
$5084 \cdot 1000 = 5084000$
Ответ: 5084000