Номер 12, страница 9, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

12 В сказочном государстве Бусирия люди знают только натуральные числа и 0, умеют их складывать и вычитать, а «умножают» их по бусирскому правилу:

$a \otimes b = ab + a + b$

Представь себя учеником бусирской школы и выполни контрольную работу.

1) Вычисли значения выражений: $2 \otimes 3$, $4 \otimes 9$, $0 \otimes 712$, $5 \otimes 8$, $2 \otimes 8 + 3 \otimes 8$.

2) Докажи, что бусирское умножение «$ \otimes $» обладает переместительным свойством.

3) Выясни, обладает ли оно сочетательным свойством.

4) Проверь, выполняется ли распределительное свойство: $(a + b) \otimes c = a \otimes c + b \otimes c$

5) Какое число обладает свойством единицы (при обычном умножении: $a \cdot 1 = a$)? А свойством нуля ($a \cdot 0 = 0$)?

1) Вычисли значения выражений:

Используем правило бусирского умножения $a \otimes b = ab + a + b$.

$2 \otimes 3 = 2 \cdot 3 + 2 + 3 = 6 + 5 = 11$

$4 \otimes 9 = 4 \cdot 9 + 4 + 9 = 36 + 13 = 49$

$0 \otimes 712 = 0 \cdot 712 + 0 + 712 = 0 + 712 = 712$

$5 \otimes 8 = 5 \cdot 8 + 5 + 8 = 40 + 13 = 53$

Для последнего выражения $2 \otimes 8 + 3 \otimes 8$ сначала вычислим каждое слагаемое:

$2 \otimes 8 = 2 \cdot 8 + 2 + 8 = 16 + 10 = 26$

$3 \otimes 8 = 3 \cdot 8 + 3 + 8 = 24 + 11 = 35$

Теперь сложим результаты: $26 + 35 = 61$.

Ответ: $11; 49; 712; 53; 61$.

2) Докажи, что бусирское умножение «$\otimes$» обладает переместительным свойством.

Переместительное (коммутативное) свойство означает, что для любых чисел $a$ и $b$ должно выполняться равенство $a \otimes b = b \otimes a$.

Вычислим левую часть: $a \otimes b = ab + a + b$.

Вычислим правую часть: $b \otimes a = ba + b + a$.

Так как для обычного умножения ($ab=ba$) и сложения ($a+b=b+a$) чисел выполняется переместительное свойство, то выражения $ab + a + b$ и $ba + b + a$ равны.

Следовательно, $a \otimes b = b \otimes a$, и бусирское умножение обладает переместительным свойством.

Ответ: Свойство доказано.

3) Выясни, обладает ли оно сочетательным свойством.

Сочетательное (ассоциативное) свойство означает, что для любых чисел $a, b$ и $c$ должно выполняться равенство $(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$.

Преобразуем левую часть:

$(a \otimes b) \otimes c = (ab + a + b) \otimes c = (ab + a + b)c + (ab + a + b) + c = abc + ac + bc + ab + a + b + c$.

Теперь преобразуем правую часть:

$a \otimes (b \otimes c) = a \otimes (bc + b + c) = a(bc + b + c) + a + (bc + b + c) = abc + ab + ac + a + bc + b + c$.

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они равны (они состоят из одинаковых слагаемых): $abc + ab + ac + bc + a + b + c$.

Следовательно, бусирское умножение обладает сочетательным свойством.

Ответ: Да, обладает.

4) Проверь, выполняется ли распределительное свойство: $(a + b) \otimes c = a \otimes c + b \otimes c$.

Проверим, равносильны ли левая и правая части для любых $a, b, c$.

Преобразуем левую часть: $(a + b) \otimes c = (a+b)c + (a+b) + c = ac + bc + a + b + c$.

Теперь преобразуем правую часть. Сначала вычислим каждое бусирское произведение, а затем сложим результаты:

$a \otimes c = ac + a + c$

$b \otimes c = bc + b + c$

$a \otimes c + b \otimes c = (ac + a + c) + (bc + b + c) = ac + bc + a + b + 2c$.

Сравним левую и правую части:

Левая часть: $ac + bc + a + b + c$.

Правая часть: $ac + bc + a + b + 2c$.

Равенство $ac + bc + a + b + c = ac + bc + a + b + 2c$ выполняется только если $c=0$. Так как свойство должно выполняться для любых чисел, а не только для частного случая, то распределительное свойство не выполняется.

Ответ: Нет, не выполняется.

5) Какое число обладает свойством единицы (при обычном умножении: $a \cdot 1 = a$)? А свойством нуля ($a \cdot 0 = 0$)?

Найдем число $e$ (единицу), такое что для любого $a$ выполняется $a \otimes e = a$.

Из уравнения $a \otimes e = ae + a + e = a$ получаем $ae + e = 0$, или $e(a+1) = 0$.

Так как это равенство должно выполняться для любого $a$ из множества натуральных чисел и нуля, то множитель $e$ должен быть равен нулю. Проверим: $a \otimes 0 = a \cdot 0 + a + 0 = a$. Значит, 0 является единицей для бусирского умножения.

Теперь найдем число $z$ (нуль или поглощающий элемент), такое что для любого $a$ выполняется $a \otimes z = z$.

Из уравнения $a \otimes z = az + a + z = z$ получаем $az + a = 0$, или $a(z+1) = 0$.

Так как это равенство должно выполняться для любого $a$ (включая ненулевые, например, $a=1$), то множитель $(z+1)$ должен быть равен нулю. Отсюда $z+1 = 0$, то есть $z = -1$.

По условию, в государстве Бусирия знают только натуральные числа и 0. Число $-1$ в это множество не входит. Следовательно, в рамках известных бусирцам чисел, элемента со свойством нуля не существует.

Ответ: Свойством единицы обладает число 0. Числа со свойством нуля (поглощающего элемента) не существует.