Номер 19, страница 10, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

19 Найди множество значений переменной $x$ ($x \in N$), при которых:

а) дробь $\frac{x - 4}{7}$ будет правильной;

б) дробь $\frac{6}{x + 2}$ будет неправильной.

а) Дробь называется правильной, если модуль ее числителя меньше модуля знаменателя. Для дроби $ \frac{x-4}{7} $ это условие записывается как неравенство $ |x - 4| < 7 $.

Данное неравенство равносильно двойному неравенству:

$ -7 < x - 4 < 7 $

Чтобы найти $ x $, прибавим 4 к каждой части неравенства:

$ -7 + 4 < x < 7 + 4 $

$ -3 < x < 11 $

По условию задачи, $ x $ является натуральным числом ($ x \in N $), то есть $ x $ может принимать целые положительные значения $ 1, 2, 3, \ldots $.

Выберем все натуральные числа, которые удовлетворяют условию $ -3 < x < 11 $. Это числа, которые больше -3 и меньше 11.

К этому множеству относятся числа: $ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 $.

Ответ: $ \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} $.

б) Дробь называется неправильной, если модуль ее числителя больше или равен модулю знаменателя. Для дроби $ \frac{6}{x+2} $ это условие записывается как неравенство $ |6| \ge |x + 2| $.

Так как по условию $ x $ — натуральное число ($ x \in N $), то $ x \ge 1 $. Это означает, что знаменатель $ x + 2 $ всегда будет положительным ($ x + 2 \ge 1 + 2 = 3 $). Следовательно, $ |x+2| = x+2 $.

Неравенство принимает вид:

$ 6 \ge x + 2 $

Вычтем 2 из обеих частей, чтобы найти $ x $:

$ 6 - 2 \ge x $

$ 4 \ge x $, что то же самое, что и $ x \le 4 $.

Мы должны найти все натуральные числа $ x $, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $ x \ge 1 $ (так как $x$ натуральное) и $ x \le 4 $.

Этим условиям удовлетворяют числа: $ 1, 2, 3, 4 $.

Ответ: $ \{1, 2, 3, 4\} $.