Номер 20, страница 10, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

20 Какие высказывания истинны? К ложным общим высказываниям приведи контрпримеры.

а) Всякая правильная дробь меньше 1.

б) Неправильная дробь всегда больше 1.

в) Некоторые неправильные дроби меньше 1.

г) Любая правильная дробь меньше любой неправильной.

д) Неправильная дробь может быть меньше 2.

а) Всякая правильная дробь меньше 1.

Это утверждение истинно. По определению, правильная дробь — это такая дробь $ \frac{a}{b} $, у которой числитель $a$ меньше знаменателя $b$ (при условии, что $a$ и $b$ — натуральные числа). Неравенство $a < b$ можно разделить на положительное число $b$, при этом знак неравенства не изменится: $ \frac{a}{b} < \frac{b}{b} $. Так как $ \frac{b}{b} = 1 $, мы получаем, что $ \frac{a}{b} < 1 $. Это справедливо для любой правильной дроби.

Ответ: Истинно.

б) Неправильная дробь всегда больше 1.

Это утверждение ложно, так как оно является общим (используется слово "всегда"). Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю ($a \geq b$). Если числитель строго больше знаменателя ($a > b$), то дробь действительно больше 1. Однако, если числитель равен знаменателю ($a=b$), то дробь равна 1, а не больше 1.

Контрпример: дробь $ \frac{7}{7} $ является неправильной, но она равна 1, а не больше 1.

Ответ: Ложно.

в) Некоторые неправильные дроби меньше 1.

Это утверждение ложно. Для любой неправильной дроби $ \frac{a}{b} $ выполняется условие $a \geq b$. Разделив это неравенство на положительное число $b$, получим $ \frac{a}{b} \geq 1 $. Это означает, что любая неправильная дробь либо больше 1, либо равна 1, но никогда не может быть меньше 1. Следовательно, не существует неправильных дробей, которые меньше 1.

Ответ: Ложно.

г) Любая правильная дробь меньше любой неправильной.

Это утверждение истинно. Как установлено в пункте (а), любая правильная дробь ($p$) меньше 1: $p < 1$. Как установлено в пункте (в), любая неправильная дробь ($n$) больше или равна 1: $n \geq 1$. Сопоставив эти два факта, мы видим, что $p < 1 \leq n$. Следовательно, любая правильная дробь всегда меньше любой неправильной.

Ответ: Истинно.

д) Неправильная дробь может быть меньше 2.

Это утверждение истинно. Оно означает, что существует хотя бы одна такая дробь. Чтобы доказать это, достаточно привести пример. Возьмем дробь $ \frac{3}{2} $. Это неправильная дробь, так как числитель $3$ больше знаменателя $2$. Ее значение равно $1.5$. Так как $1.5 < 2$, мы нашли пример неправильной дроби, которая меньше 2. Другие примеры: $ \frac{5}{4} = 1.25 < 2 $, $ \frac{10}{10} = 1 < 2 $.

Ответ: Истинно.