Номер 185, страница 39, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

185 Сравни дроби:

a) $\frac{41}{61}$ и $\frac{411}{611}$;

б) $\frac{200200201}{200200203}$ и $\frac{300300301}{300300304}$.

a) Чтобы сравнить дроби $\frac{41}{61}$ и $\frac{411}{611}$, воспользуемся методом сравнения их дополнений до единицы, так как обе дроби являются правильными (меньше 1). Чем меньше дополнение до единицы, тем больше сама дробь.

Дополнение для первой дроби: $1 - \frac{41}{61} = \frac{61 - 41}{61} = \frac{20}{61}$.

Дополнение для второй дроби: $1 - \frac{411}{611} = \frac{611 - 411}{611} = \frac{200}{611}$.

Теперь сравним полученные дополнения: $\frac{20}{61}$ и $\frac{200}{611}$. Для удобства сравнения приведем первую дробь к числителю 200, умножив ее числитель и знаменатель на 10:

$\frac{20}{61} = \frac{20 \times 10}{61 \times 10} = \frac{200}{610}$.

Теперь сравним $\frac{200}{610}$ и $\frac{200}{611}$. Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Поскольку $610 < 611$, то $\frac{200}{610} > \frac{200}{611}$.

Это означает, что $\frac{20}{61} > \frac{200}{611}$.

Дополнение до единицы у первой дроби ($\frac{41}{61}$) больше, чем у второй ($\frac{411}{611}$), следовательно, первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{41}{61} < \frac{411}{611}$.

б) Для сравнения дробей $\frac{200200201}{200200203}$ и $\frac{300300301}{300300304}$ также используем метод дополнения до единицы.

Дополнение для первой дроби: $1 - \frac{200200201}{200200203} = \frac{200200203 - 200200201}{200200203} = \frac{2}{200200203}$.

Дополнение для второй дроби: $1 - \frac{300300301}{300300304} = \frac{300300304 - 300300301}{300300304} = \frac{3}{300300304}$.

Теперь необходимо сравнить дроби $\frac{2}{200200203}$ и $\frac{3}{300300304}$. Для этого воспользуемся правилом перекрестного умножения. Сравним произведения $2 \times 300300304$ и $3 \times 200200203$.

$2 \times 300300304 = 600600608$.

$3 \times 200200203 = 600600609$.

Поскольку $600600608 < 600600609$, то и $\frac{2}{200200203} < \frac{3}{300300304}$.

Дополнение до единицы у первой дроби меньше, чем у второй. Это означает, что первая дробь находится ближе к единице, а значит, она больше второй.

Ответ: $\frac{200200201}{200200203} > \frac{300300301}{300300304}$.