Номер 180, страница 38, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

180 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями и приведи их к наименьшему общему знаменателю:

а) $ \frac{12}{32} $, $ \frac{25}{80} $ и $ \frac{222}{333} $;

б) $ \frac{5abd}{35ab} $ и $ \frac{4xy}{2x^2} $.

а)

Задача состоит из двух шагов: сначала сократить дроби, а затем привести их к наименьшему общему знаменателю.

Шаг 1: Сокращение дробей

1. Дробь $\frac{12}{32}$. Для сокращения найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя 12 и знаменателя 32, разложив их на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$
НОД(12, 32) равен произведению общих множителей в наименьшей степени, то есть $2^2 = 4$.
Теперь разделим числитель и знаменатель на 4: $\frac{12}{32} = \frac{12 \div 4}{32 \div 4} = \frac{3}{8}$.

2. Дробь $\frac{25}{80}$. Найдем НОД(25, 80):
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
$80 = 8 \cdot 10 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 5$
Общий множитель - это 5. НОД(25, 80) = 5.
Сокращаем дробь: $\frac{25}{80} = \frac{25 \div 5}{80 \div 5} = \frac{5}{16}$.

3. Дробь $\frac{222}{333}$. Заметим, что оба числа состоят из повторяющихся цифр.
$222 = 2 \cdot 111$
$333 = 3 \cdot 111$
НОД(222, 333) = 111.
Сокращаем дробь: $\frac{222}{333} = \frac{222 \div 111}{333 \div 111} = \frac{2}{3}$.

После сокращения мы получили дроби: $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{16}$ и $\frac{2}{3}$.

Шаг 2: Приведение к наименьшему общему знаменателю (НОЗ)

НОЗ является наименьшим общим кратным (НОК) знаменателей 8, 16 и 3. Используя разложения на множители из шага 1 и для числа 3 ($3=3^1$):
НОК(8, 16, 3) = НОК($2^3$, $2^4$, $3^1$). Для нахождения НОК берем каждый простой множитель в наивысшей степени и перемножаем их: $2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$.
Наименьший общий знаменатель равен 48.

Теперь приведем каждую сокращенную дробь к знаменателю 48, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:

- Для дроби $\frac{3}{8}$ дополнительный множитель: $48 \div 8 = 6$. Получаем: $\frac{3 \cdot 6}{8 \cdot 6} = \frac{18}{48}$.

- Для дроби $\frac{5}{16}$ дополнительный множитель: $48 \div 16 = 3$. Получаем: $\frac{5 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{15}{48}$.

- Для дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель: $48 \div 3 = 16$. Получаем: $\frac{2 \cdot 16}{3 \cdot 16} = \frac{32}{48}$.

Ответ: $\frac{18}{48}, \frac{15}{48}, \frac{32}{48}$.

б)

Рассмотрим алгебраические дроби $\frac{5abd}{35ab}$ и $\frac{4xy}{2x^2}$. В условии сказано, что числители и знаменатели натуральные, значит переменные $a, b, d, x, y$ представляют собой натуральные числа, и все знаменатели отличны от нуля.

Шаг 1: Сокращение дробей

1. Дробь $\frac{5abd}{35ab}$. Сокращаем, разделяя общие множители в числителе и знаменателе:
$\frac{5abd}{35ab} = \frac{5 \cdot a \cdot b \cdot d}{5 \cdot 7 \cdot a \cdot b}$. Сократив общие множители 5, $a$ и $b$, получаем $\frac{d}{7}$.

2. Дробь $\frac{4xy}{2x^2}$. Аналогично сокращаем:
$\frac{4xy}{2x^2} = \frac{2 \cdot 2 \cdot x \cdot y}{2 \cdot x \cdot x}$. Сократив общие множители 2 и $x$, получаем $\frac{2y}{x}$.

После сокращения мы получили дроби: $\frac{d}{7}$ и $\frac{2y}{x}$.

Шаг 2: Приведение к наименьшему общему знаменателю (НОЗ)

Знаменатели дробей - 7 и $x$. Так как 7 - простое число, а $x$ - переменная, их наименьший общий знаменатель (наименьшее общее кратное) будет их произведением: $7x$.

Приведем дроби к знаменателю $7x$:

- Для дроби $\frac{d}{7}$ дополнительный множитель равен $x$: $\frac{d}{7} = \frac{d \cdot x}{7 \cdot x} = \frac{dx}{7x}$.

- Для дроби $\frac{2y}{x}$ дополнительный множитель равен 7: $\frac{2y}{x} = \frac{2y \cdot 7}{x \cdot 7} = \frac{14y}{7x}$.

Ответ: $\frac{dx}{7x}, \frac{14y}{7x}$.