Номер 175, страница 37, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

175 Сократи дроби, а затем сравни их:

1) $\frac{52}{260}$ и $\frac{15}{195}$;

2) $\frac{7 \cdot 15 \cdot 48}{25 \cdot 49 \cdot 24}$ и $\frac{8 \cdot 81 \cdot 59}{59 \cdot 45 \cdot 16}$.

1) Сравним дроби $ \frac{52}{260} $ и $ \frac{15}{195} $. Для этого сначала сократим каждую из них.

Сократим первую дробь $ \frac{52}{260} $. Заметим, что знаменатель $ 260 $ делится на числитель $ 52 $: $ 260 = 5 \times 52 $. Таким образом, мы можем сократить дробь на 52.

$ \frac{52}{260} = \frac{52 \div 52}{260 \div 52} = \frac{1}{5} $.

Сократим вторую дробь $ \frac{15}{195} $. Числитель и знаменатель оканчиваются на 5, значит, они делятся на 5.

$ \frac{15}{195} = \frac{15 \div 5}{195 \div 5} = \frac{3}{39} $.

Теперь видно, что числитель и знаменатель полученной дроби делятся на 3.

$ \frac{3}{39} = \frac{3 \div 3}{39 \div 3} = \frac{1}{13} $.

Теперь сравним полученные дроби $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{1}{13} $.

Из двух дробей с одинаковыми числителями (в данном случае 1) больше та, у которой знаменатель меньше.

Так как $ 5 < 13 $, то $ \frac{1}{5} > \frac{1}{13} $.

Следовательно, $ \frac{52}{260} > \frac{15}{195} $.

Ответ: $ \frac{52}{260} = \frac{1}{5} $, $ \frac{15}{195} = \frac{1}{13} $; $ \frac{1}{5} > \frac{1}{13} $.

2) Сравним дроби $ \frac{7 \cdot 15 \cdot 48}{25 \cdot 49 \cdot 24} $ и $ \frac{8 \cdot 81 \cdot 59}{59 \cdot 45 \cdot 16} $. Для этого сначала сократим их.

Сократим первую дробь $ \frac{7 \cdot 15 \cdot 48}{25 \cdot 49 \cdot 24} $. Будем последовательно сокращать множители в числителе и знаменателе.

Сократим 7 и 49 на 7; 48 и 24 на 24; 15 и 25 на 5:

$ \frac{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{15}^3 \cdot \cancel{48}^2}{\cancel{25}^5 \cdot \cancel{49}^7 \cdot \cancel{24}^1} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 2}{5 \cdot 7 \cdot 1} = \frac{6}{35} $.

Сократим вторую дробь $ \frac{8 \cdot 81 \cdot 59}{59 \cdot 45 \cdot 16} $.

Сократим 59 и 59; 8 и 16 на 8; 81 и 45 на 9:

$ \frac{\cancel{8}^1 \cdot \cancel{81}^9 \cdot \cancel{59}^1}{\cancel{59}^1 \cdot \cancel{45}^5 \cdot \cancel{16}^2} = \frac{1 \cdot 9 \cdot 1}{1 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{9}{10} $.

Теперь сравним полученные дроби $ \frac{6}{35} $ и $ \frac{9}{10} $.

Для сравнения приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 35 и 10 это 70.

Найдем дополнительные множители: для первой дроби $ 70 \div 35 = 2 $, для второй $ 70 \div 10 = 7 $.

$ \frac{6}{35} = \frac{6 \cdot 2}{35 \cdot 2} = \frac{12}{70} $.

$ \frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 7}{10 \cdot 7} = \frac{63}{70} $.

Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями: $ \frac{12}{70} $ и $ \frac{63}{70} $.

Так как $ 12 < 63 $, то $ \frac{12}{70} < \frac{63}{70} $.

Следовательно, $ \frac{6}{35} < \frac{9}{10} $.

Ответ: $ \frac{7 \cdot 15 \cdot 48}{25 \cdot 49 \cdot 24} = \frac{6}{35} $, $ \frac{8 \cdot 81 \cdot 59}{59 \cdot 45 \cdot 16} = \frac{9}{10} $; $ \frac{6}{35} < \frac{9}{10} $.