Номер 172, страница 36, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

172 Сравни дроби $\frac{4}{105}$ и $\frac{7}{120}$, приведя их:

1) к общему знаменателю;

2) к общему числителю.

1) к общему знаменателю

Для сравнения дробей $ \frac{4}{105} $ и $ \frac{7}{120} $ необходимо привести их к общему знаменателю. В качестве общего знаменателя возьмем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 105 и 120. Сначала разложим знаменатели на простые множители: $ 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7 $; $ 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 $. Тогда $ НОК(105, 120) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840 $. Это и будет наш общий знаменатель. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для $ \frac{4}{105} $ дополнительный множитель равен $ 840 : 105 = 8 $. Для $ \frac{7}{120} $ дополнительный множитель равен $ 840 : 120 = 7 $. Теперь приведем дроби к общему знаменателю: $ \frac{4}{105} = \frac{4 \cdot 8}{105 \cdot 8} = \frac{32}{840} $; $ \frac{7}{120} = \frac{7 \cdot 7}{120 \cdot 7} = \frac{49}{840} $. Сравниваем полученные дроби $ \frac{32}{840} $ и $ \frac{49}{840} $. Так как у дробей одинаковые знаменатели, сравниваем их числители. Поскольку $ 32 < 49 $, то $ \frac{32}{840} < \frac{49}{840} $, а это значит, что $ \frac{4}{105} < \frac{7}{120} $.

Ответ: $ \frac{4}{105} < \frac{7}{120} $.

2) к общему числителю

Для сравнения дробей $ \frac{4}{105} $ и $ \frac{7}{120} $ можно также привести их к общему числителю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) числителей 4 и 7. Так как 4 и 7 — взаимно простые числа, их НОК равно их произведению: $ НОК(4, 7) = 4 \cdot 7 = 28 $. Приведем обе дроби к числителю 28. Для этого найдем, на что нужно домножить числитель и знаменатель каждой дроби. Для первой дроби $ \frac{4}{105} $ множитель равен $ 28 : 4 = 7 $. Получаем: $ \frac{4}{105} = \frac{4 \cdot 7}{105 \cdot 7} = \frac{28}{735} $. Для второй дроби $ \frac{7}{120} $ множитель равен $ 28 : 7 = 4 $. Получаем: $ \frac{7}{120} = \frac{7 \cdot 4}{120 \cdot 4} = \frac{28}{480} $. Теперь сравним дроби $ \frac{28}{735} $ и $ \frac{28}{480} $. Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше. Сравниваем знаменатели: $ 735 > 480 $. Следовательно, $ \frac{28}{735} < \frac{28}{480} $, а значит $ \frac{4}{105} < \frac{7}{120} $.

Ответ: $ \frac{4}{105} < \frac{7}{120} $.