Номер 167, страница 36, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

167 Построй математическую модель задачи.

1) Вася идёт из дома в школу. Если бы он шёл со скоростью на $20 \text{ м/мин}$ больше, то пришёл бы в школу на 4 мин раньше, а если бы его скорость была на $12 \text{ м/мин}$ меньше, он пришёл бы в школу на 4 мин позже. С какой скоростью идёт Вася, если расстояние от дома до школы 440 м?

2) Расстояние между двумя пешеходами, идущими навстречу друг другу, 720 м. Скорость одного из них на $8 \text{ м/мин}$ больше скорости другого. Найти скорость пешеходов, если известно, что они встретились через 6 мин.

3) Две лодки плывут по реке в одном направлении. Скорость лодки, плывущей впереди, составляет $80\%$ скорости лодки, плывущей сзади. За 15 мин расстояние между ними уменьшилось с 800 м до 200 м. С какой скоростью плывут лодки?

1)

Построим математическую модель задачи. Пусть $v$ (м/мин) – собственная скорость Васи, $t$ (мин) – время, за которое он доходит до школы, а $S$ (м) – расстояние от дома до школы.

Тогда верны следующие соотношения:

1. Расстояние равно произведению скорости на время: $S = v \cdot t$.

2. Если бы скорость была $(v + 20)$ м/мин, время было бы $(t - 4)$ мин: $S = (v + 20)(t - 4)$.

3. Если бы скорость была $(v - 12)$ м/мин, время было бы $(t + 4)$ мин: $S = (v - 12)(t + 4)$.

Приравняем правые части выражений, так как расстояние $S$ в них одно и то же:

Из 1 и 2: $v \cdot t = (v + 20)(t - 4)$. Раскроем скобки: $v \cdot t = v \cdot t - 4v + 20t - 80$. Упростим: $4v - 20t = -80$, разделив на 4, получим: $v - 5t = -20$.

Из 1 и 3: $v \cdot t = (v - 12)(t + 4)$. Раскроем скобки: $v \cdot t = v \cdot t + 4v - 12t - 48$. Упростим: $4v - 12t = 48$, разделив на 4, получим: $v - 3t = 12$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $v$ и $t$:

$$ \begin{cases} v - 5t = -20 \\ v - 3t = 12 \end{cases} $$

Вычтем из второго уравнения первое: $(v - 3t) - (v - 5t) = 12 - (-20)$.

$2t = 32$, откуда $t = 16$ мин.

Подставим значение $t$ в любое из уравнений, например, во второе: $v - 3 \cdot 16 = 12$.

$v - 48 = 12$, откуда $v = 60$ м/мин.

Таким образом, условия об изменении времени в зависимости от скорости однозначно определяют скорость Васи $v = 60$ м/мин и время в пути $t = 16$ мин.

При таких значениях расстояние до школы должно быть $S = v \cdot t = 60 \cdot 16 = 960$ м.

Однако, в условии задачи дано, что расстояние от дома до школы равно 440 м. Это значение противоречит выведенным из других условий параметрам движения. Следовательно, условие задачи содержит внутреннее противоречие (вероятно, опечатку в одном из чисел).

Если отвечать на вопрос, основываясь на данных об изменении скорости и времени, которые приводят к единственному решению, то скорость Васи составляет 60 м/мин.

Ответ: Скорость Васи, исходя из условий изменения времени, составляет 60 м/мин, что соответствует расстоянию 960 м, а не 440 м, указанным в задаче. Задача содержит противоречивые данные.

2)

Пусть скорость первого пешехода $v_1$, а скорость второго $v_2$. По условию, скорость одного на 8 м/мин больше скорости другого. Пусть это будет первый пешеход: $v_1 = v_2 + 8$ (м/мин).

Пешеходы идут навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.

Расстояние, которое они проходят вместе до встречи, равно начальному расстоянию между ними $S = 720$ м. Это расстояние они проходят за время $t = 6$ мин.

Используем формулу расстояния: $S = v_{сбл} \cdot t$.

Подставим известные значения: $720 = (v_1 + v_2) \cdot 6$.

Отсюда найдем скорость сближения: $v_1 + v_2 = 720 / 6 = 120$ м/мин.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 120 \\ v_1 = v_2 + 8 \end{cases} $$

Подставим второе уравнение в первое: $(v_2 + 8) + v_2 = 120$.

$2v_2 + 8 = 120$

$2v_2 = 112$

$v_2 = 56$ м/мин.

Теперь найдем скорость первого пешехода: $v_1 = v_2 + 8 = 56 + 8 = 64$ м/мин.

Ответ: Скорость одного пешехода 64 м/мин, а другого – 56 м/мин.

3)

Пусть $v_1$ – скорость лодки, плывущей впереди, а $v_2$ – скорость лодки, плывущей сзади.

По условию, $v_1$ составляет 80% от $v_2$. Переведем проценты в десятичную дробь: $v_1 = 0.8 \cdot v_2$.

Так как лодки плывут в одном направлении и вторая лодка догоняет первую ($v_1 < v_2$), то скорость их сближения равна разности скоростей: $v_{сбл} = v_2 - v_1$.

За время $t = 15$ мин расстояние между лодками уменьшилось с $S_{нач} = 800$ м до $S_{кон} = 200$ м.

Сокращенное расстояние $\Delta S$ равно: $\Delta S = S_{нач} - S_{кон} = 800 - 200 = 600$ м.

Это расстояние было пройдено за счет скорости сближения за время $t$. То есть, $\Delta S = v_{сбл} \cdot t$.

Подставим значения: $600 = (v_2 - v_1) \cdot 15$.

Найдем скорость сближения: $v_2 - v_1 = 600 / 15 = 40$ м/мин.

Получили систему из двух уравнений:

$$ \begin{cases} v_2 - v_1 = 40 \\ v_1 = 0.8 \cdot v_2 \end{cases} $$

Подставим второе уравнение в первое: $v_2 - (0.8 \cdot v_2) = 40$.

$0.2 \cdot v_2 = 40$

$v_2 = 40 / 0.2 = 200$ м/мин.

Теперь найдем скорость первой лодки: $v_1 = 0.8 \cdot v_2 = 0.8 \cdot 200 = 160$ м/мин.

Ответ: Скорость лодки, плывущей впереди, – 160 м/мин, а скорость лодки, плывущей сзади, – 200 м/мин.