Номер 161, страница 34, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

161 Приведи к общему знаменателю дроби и найди их сумму $(a, b, c, d \in N):$

а) $\frac{4}{3}$ и $\frac{5}{a};$

б) $\frac{3}{a}$ и $\frac{2}{b};$

в) $\frac{a}{2}$ и $\frac{2}{b};$

г) $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}.$

Из примера г) выведи правило сложения дробей и сложи по этому правилу дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{8}$. Можно ли упростить полученную дробь?

а) Чтобы привести дроби $\frac{4}{3}$ и $\frac{5}{a}$ к общему знаменателю, нужно найти их общий знаменатель, который равен произведению их знаменателей: $3 \cdot a = 3a$. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $3$.
$\frac{4}{3} + \frac{5}{a} = \frac{4 \cdot a}{3 \cdot a} + \frac{5 \cdot 3}{a \cdot 3} = \frac{4a}{3a} + \frac{15}{3a} = \frac{4a + 15}{3a}$.
Ответ: $\frac{4a + 15}{3a}$.

б) Общий знаменатель для дробей $\frac{3}{a}$ и $\frac{2}{b}$ равен $ab$. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $a$.
$\frac{3}{a} + \frac{2}{b} = \frac{3 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{2 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{3b}{ab} + \frac{2a}{ab} = \frac{2a + 3b}{ab}$.
Ответ: $\frac{2a + 3b}{ab}$.

в) Общий знаменатель для дробей $\frac{a}{2}$ и $\frac{2}{b}$ равен $2b$. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $2$.
$\frac{a}{2} + \frac{2}{b} = \frac{a \cdot b}{2 \cdot b} + \frac{2 \cdot 2}{b \cdot 2} = \frac{ab}{2b} + \frac{4}{2b} = \frac{ab + 4}{2b}$.
Ответ: $\frac{ab + 4}{2b}$.

г) Общий знаменатель для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ равен $bd$. Дополнительный множитель для первой дроби — $d$, для второй — $b$.
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd}$.
Ответ: $\frac{ad + bc}{bd}$.

Из примера г) можно вывести правило сложения дробей: чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, прибавить произведение числителя второй дроби на знаменатель первой, а результат записать в числитель; знаменателем же будет произведение знаменателей исходных дробей. Формула: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$.
Сложим дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{8}$ по этому правилу:
$\frac{1}{6} + \frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 3 \cdot 6}{6 \cdot 8} = \frac{8 + 18}{48} = \frac{26}{48}$.
Да, полученную дробь можно упростить (сократить), так как числитель 26 и знаменатель 48 имеют общий делитель 2.
$\frac{26}{48} = \frac{26 \div 2}{48 \div 2} = \frac{13}{24}$.
Ответ: Правило сложения: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$. Сумма дробей $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{8}$ равна $\frac{13}{24}$. Да, полученную в процессе вычисления дробь ($\frac{26}{48}$) можно было упростить.