Номер 156, страница 33, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

Л 156 Найди общие утверждения и утверждения о существовании (типа «хотя бы один»). Докажи или опровергни их.

1) Существует правильная дробь со знаменателем 2.

2) Существует неправильная дробь с числителем 2.

3) Любая правильная дробь меньше любой неправильной.

4) Две дроби с равными знаменателями равны.

5) Дробь, числитель и знаменатель которой кратны 5, сократима.

6) Дробь сократима тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель кратны 5.

7) Дробь сократима в том и только в том случае, когда её числитель кратен знаменателю.

8) Дробь сократима, если и только если наибольший общий делитель числителя и знаменателя больше 1.

1) Существует правильная дробь со знаменателем 2.

Это утверждение о существовании. Оно истинно.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель (натуральное число) меньше знаменателя (натуральное число). Для дроби $a/b$ должно выполняться условие $a < b$.

В нашем случае знаменатель $b=2$. Нам нужно найти натуральное число $a$, такое что $a < 2$. Этому условию удовлетворяет $a=1$.

Следовательно, дробь $1/2$ является правильной и имеет знаменатель 2, что доказывает существование такой дроби.

Ответ: утверждение истинно.

2) Существует неправильная дробь с числителем 2.

Это утверждение о существовании. Оно истинно.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю ($a \ge b$).

В нашем случае числитель $a=2$. Нам нужно найти натуральное число $b$, такое что $2 \ge b$. Этому условию удовлетворяют $b=1$ и $b=2$.

В качестве примера можно взять дробь $2/1$ или $2/2$. Обе они являются неправильными дробями с числителем 2.

Ответ: утверждение истинно.

3) Любая правильная дробь меньше любой неправильной.

Это общее утверждение. Оно истинно.

Пусть $a/b$ — любая правильная дробь. По определению, $a < b$ (где $a, b$ — натуральные числа). Это означает, что $a/b < 1$.

Пусть $c/d$ — любая неправильная дробь. По определению, $c \ge d$ (где $c, d$ — натуральные числа). Это означает, что $c/d \ge 1$.

Так как любая правильная дробь меньше 1, а любая неправильная дробь больше или равна 1, то любая правильная дробь всегда будет меньше любой неправильной: $a/b < 1 \le c/d$.

Ответ: утверждение истинно.

4) Две дроби с равными знаменателями равны.

Это общее утверждение. Оно ложно.

Две дроби с равными знаменателями равны только в том случае, если равны их числители. Утверждение не включает это условие, поэтому оно в общем случае неверно. Для опровержения достаточно привести контрпример.

Рассмотрим дроби $1/3$ и $2/3$. У них равные знаменатели (3), но сами дроби не равны, так как $1/3 \ne 2/3$.

Ответ: утверждение ложно.

5) Дробь, числитель и знаменатель которой кратны 5, сократима.

Это общее утверждение. Оно истинно.

Дробь называется сократимой, если ее числитель и знаменатель имеют общий натуральный делитель, больший 1.

Если числитель и знаменатель дроби кратны 5, это означает, что они оба делятся на 5. Число 5 является их общим делителем. Так как $5 > 1$, то по определению дробь является сократимой.

Ответ: утверждение истинно.

6) Дробь сократима тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель кратны 5.

Это общее утверждение. Оно ложно.

Утверждение «тогда и только тогда» означает, что должны выполняться два условия:

1. Если числитель и знаменатель кратны 5, то дробь сократима. (Как показано в пункте 5, это истина).

2. Если дробь сократима, то её числитель и знаменатель кратны 5. (Это ложь).

Чтобы опровергнуть второе условие, приведём контрпример. Дробь $6/9$ сократима, так как ее числитель и знаменатель имеют общий делитель 3. Однако ни 6, ни 9 не кратны 5.

Поскольку вторая часть утверждения ложна, всё утверждение в целом является ложным.

Ответ: утверждение ложно.

7) Дробь сократима в том и только в том случае, когда её числитель кратен знаменателю.

Это общее утверждение. Оно ложно.

Рассмотрим две части этого утверждения:

1. Если числитель кратен знаменателю, то дробь сократима. Это верно (если знаменатель больше 1). Например, в дроби $8/4$ числитель 8 кратен знаменателю 4. Дробь сократима на 4.

2. Если дробь сократима, то её числитель кратен знаменателю. Это ложь.

В качестве контрпримера рассмотрим дробь $4/6$. Она сократима на 2, но её числитель 4 не кратен (не делится нацело) знаменателю 6.

Поскольку вторая часть утверждения ложна, всё утверждение в целом является ложным.

Ответ: утверждение ложно.

8) Дробь сократима, если и только если наибольший общий делитель числителя и знаменателя больше 1.

Это общее утверждение. Оно истинно.

Это утверждение, по сути, является точным математическим определением сократимой дроби. Проверим его.

Пусть дана дробь $a/b$.

1. Если дробь сократима, значит, у числителя $a$ и знаменателя $b$ есть общий делитель $d > 1$. Наибольший общий делитель ($\text{НОД}$) по определению не может быть меньше любого другого общего делителя, поэтому $\text{НОД}(a, b) \ge d > 1$. Следовательно, $\text{НОД}(a, b) > 1$.

2. Если $\text{НОД}(a, b) > 1$, то само число $\text{НОД}(a, b)$ является общим делителем числителя и знаменателя, и оно больше 1. Это в точности соответствует определению сократимой дроби.

Поскольку оба условия взаимно следуют друг из друга, утверждение истинно.

Ответ: утверждение истинно.