Номер 150, страница 32, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

150 Известно, что $a, b, c$ и $d$ – натуральные числа, причём $a < b < c < d$. Сравни дроби:

1) $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$;

2) $\frac{d}{c}$ и $\frac{c}{d}$;

3) $\frac{c}{a}$ и $\frac{b}{d}$;

4) $\frac{a}{d}$ и $\frac{c}{b}$.

151

По условию даны натуральные числа $a, b, c, d$, для которых выполняется неравенство $a < b < c < d$.

1) Сравним дроби $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{b}{a} $.

Поскольку $a$ и $b$ - натуральные числа и $a < b$, то числитель дроби $ \frac{a}{b} $ меньше её знаменателя. Такая дробь называется правильной, и её значение меньше 1. То есть, $ \frac{a}{b} < 1 $.

В дроби $ \frac{b}{a} $ числитель больше знаменателя. Такая дробь называется неправильной, и её значение больше 1. То есть, $ \frac{b}{a} > 1 $.

Так как $ \frac{a}{b} < 1 $ и $ \frac{b}{a} > 1 $, то очевидно, что $ \frac{a}{b} < \frac{b}{a} $.

Ответ: $ \frac{a}{b} < \frac{b}{a} $.

2) Сравним дроби $ \frac{d}{c} $ и $ \frac{c}{d} $.

Данный случай полностью аналогичен предыдущему. По условию $c < d$.

Дробь $ \frac{c}{d} $ является правильной, так как $c < d$, поэтому $ \frac{c}{d} < 1 $.

Дробь $ \frac{d}{c} $ является неправильной, так как $d > c$, поэтому $ \frac{d}{c} > 1 $.

Сравнивая полученные значения, имеем $ \frac{c}{d} < 1 < \frac{d}{c} $, откуда следует, что $ \frac{c}{d} < \frac{d}{c} $.

Ответ: $ \frac{d}{c} > \frac{c}{d} $.

3) Сравним дроби $ \frac{c}{a} $ и $ \frac{b}{d} $.

Из условия $a < b < c < d$ следует, что $c > a$. Поэтому дробь $ \frac{c}{a} $ является неправильной, и её значение больше 1: $ \frac{c}{a} > 1 $.

Также из условия следует, что $b < d$. Поэтому дробь $ \frac{b}{d} $ является правильной, и её значение меньше 1: $ \frac{b}{d} < 1 $.

Таким образом, $ \frac{b}{d} < 1 < \frac{c}{a} $, что означает $ \frac{b}{d} < \frac{c}{a} $.

Ответ: $ \frac{c}{a} > \frac{b}{d} $.

4) Сравним дроби $ \frac{a}{d} $ и $ \frac{c}{b} $.

Воспользуемся условием $a < b < c < d$.

Для дроби $ \frac{a}{d} $ имеем $a < d$, значит, это правильная дробь и $ \frac{a}{d} < 1 $.

Для дроби $ \frac{c}{b} $ имеем $c > b$, значит, это неправильная дробь и $ \frac{c}{b} > 1 $.

Из этого следует, что $ \frac{a}{d} < 1 < \frac{c}{b} $, и, следовательно, $ \frac{a}{d} < \frac{c}{b} $.

Ответ: $ \frac{a}{d} < \frac{c}{b} $.