Номер 144, страница 31, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

144 Расположи дроби в порядке возрастания:

а) $ \frac{4}{5}, \frac{2}{3}, \frac{9}{10}, \frac{8}{9} $

б) $ \frac{3}{7}, \frac{1}{5}, \frac{11}{15}, \frac{55}{59} $

а) Чтобы расположить дроби $\frac{4}{5}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{9}{10}$ и $\frac{8}{9}$ в порядке возрастания, необходимо привести их к общему знаменателю.

Знаменатели дробей: 5, 3, 10, 9. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Разложим знаменатели на простые множители:
$5 = 5$
$3 = 3$
$10 = 2 \cdot 5$
$9 = 3^2$
НОК(3, 5, 9, 10) = $2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 90:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 18}{5 \cdot 18} = \frac{72}{90}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 30}{3 \cdot 30} = \frac{60}{90}$
$\frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{81}{90}$
$\frac{8}{9} = \frac{8 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{80}{90}$

Теперь сравним полученные дроби. Из дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель. Расположим числители в порядке возрастания: $60 < 72 < 80 < 81$.

Следовательно, соответствующий порядок дробей будет таким:

$\frac{60}{90} < \frac{72}{90} < \frac{80}{90} < \frac{81}{90}$

Это соответствует исходным дробям:

$\frac{2}{3} < \frac{4}{5} < \frac{8}{9} < \frac{9}{10}$

Ответ: $\frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{8}{9}, \frac{9}{10}$.

б) Чтобы расположить дроби $\frac{3}{7}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{11}{15}$ и $\frac{55}{59}$ в порядке возрастания, будем сравнивать их попарно.

1. Сравним $\frac{1}{5}$ и $\frac{3}{7}$. Приведем к общему знаменателю 35:
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{7}{35}$
$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{15}{35}$
Так как $7 < 15$, то $\frac{1}{5} < \frac{3}{7}$.

2. Сравним $\frac{3}{7}$ и $\frac{11}{15}$. Приведем к общему знаменателю $7 \cdot 15 = 105$:
$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 15}{7 \cdot 15} = \frac{45}{105}$
$\frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 7}{15 \cdot 7} = \frac{77}{105}$
Так как $45 < 77$, то $\frac{3}{7} < \frac{11}{15}$.

3. Сравним $\frac{11}{15}$ и $\frac{55}{59}$. Воспользуемся методом перекрестного умножения. Сравним произведения $11 \cdot 59$ и $15 \cdot 55$:
$11 \cdot 59 = 649$
$15 \cdot 55 = 825$
Так как $649 < 825$, то $\frac{11}{15} < \frac{55}{59}$.

Объединив все полученные неравенства ($\frac{1}{5} < \frac{3}{7}$, $\frac{3}{7} < \frac{11}{15}$ и $\frac{11}{15} < \frac{55}{59}$), получаем итоговый порядок:

$\frac{1}{5} < \frac{3}{7} < \frac{11}{15} < \frac{55}{59}$

Ответ: $\frac{1}{5}, \frac{3}{7}, \frac{11}{15}, \frac{55}{59}$.