Номер 139, страница 31, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

139 Найди несколько значений x, удовлетворяющих неравенству:

a) $\frac{1}{6} < x < \frac{1}{5}$

б) $\frac{4}{9} < x < \frac{5}{9}$

Сколько существует таких чисел?

а) Чтобы найти значения $x$, удовлетворяющие неравенству $ \frac{1}{6} < x < \frac{1}{5} $, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 5 равен 30. Неравенство можно записать как $ \frac{5}{30} < x < \frac{6}{30} $. Чтобы найти числа между этими дробями, нужно использовать больший знаменатель, так как между числителями 5 и 6 нет целых чисел. Например, приведем дроби к знаменателю 60:

$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 10}{6 \cdot 10} = \frac{10}{60} $

$ \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{12}{60} $

Теперь неравенство имеет вид $ \frac{10}{60} < x < \frac{12}{60} $. Одно из значений $x$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $ \frac{11}{60} $. Чтобы найти больше значений, можно взять еще больший знаменатель, например, 180:

$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 30}{6 \cdot 30} = \frac{30}{180} $

$ \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 36}{5 \cdot 36} = \frac{36}{180} $

Неравенство $ \frac{30}{180} < x < \frac{36}{180} $ позволяет нам выбрать, например, $x = \frac{31}{180}$ и $x = \frac{32}{180} = \frac{8}{45}$.

Ответ: Например, $ \frac{11}{60}, \frac{31}{180}, \frac{8}{45} $.

б) Рассмотрим неравенство $ \frac{4}{9} < x < \frac{5}{9} $. Дроби уже имеют общий знаменатель. Чтобы найти числа между ними, умножим числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы "расширить" промежуток. Например, умножим на 2:

$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{8}{18} $

$ \frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{10}{18} $

Из неравенства $ \frac{8}{18} < x < \frac{10}{18} $ находим значение $x = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$. Теперь умножим исходные дроби на 3:

$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{12}{27} $

$ \frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{15}{27} $

Из неравенства $ \frac{12}{27} < x < \frac{15}{27} $ находим еще два значения: $x = \frac{13}{27}$ и $x = \frac{14}{27}$.

Ответ: Например, $ \frac{1}{2}, \frac{13}{27}, \frac{14}{27} $.

На вопрос "Сколько существует таких чисел?" можно ответить, проанализировав оба случая. Между любыми двумя различными числами на числовой прямой всегда можно найти еще одно число (например, их среднее арифметическое). Так как этот процесс можно повторять до бесконечности, то между любыми двумя различными числами, как в неравенстве а) и б), существует бесконечное множество других чисел. Мы можем находить все новые и новые числа, постоянно увеличивая знаменатель дробей, как это было показано в решениях выше.

Ответ: Существует бесконечно много таких чисел.