Номер 140, страница 31, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

140 Объясни, не приводя дроби к общему знаменателю, почему $\frac{1}{2} > \frac{1}{10}$, $\frac{3}{17} < \frac{3}{5}$.

Запиши, пользуясь знаком равносильности, правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.

Объясни, не приводя дроби к общему знаменателю, почему $\frac{1}{2}>\frac{1}{10}, \frac{3}{17}<\frac{3}{5}$

Для сравнения дробей с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, применяется правило: из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и наоборот, меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Рассмотрим неравенство $\frac{1}{2} > \frac{1}{10}$. Числители у этих дробей одинаковы и равны 1. Знаменатели разные: 2 и 10. Так как $2 < 10$, то дробь с меньшим знаменателем ($\frac{1}{2}$) будет больше дроби с большим знаменателем ($\frac{1}{10}$). Если представить, что мы делим один и тот же предмет на части, то одна вторая часть ($\frac{1}{2}$) будет крупнее, чем одна десятая часть ($\frac{1}{10}$).

Рассмотрим неравенство $\frac{3}{17} < \frac{3}{5}$. Числители у этих дробей также одинаковы и равны 3. Сравниваем их знаменатели: $17 > 5$. Поскольку знаменатель первой дроби (17) больше знаменателя второй (5), то первая дробь ($\frac{3}{17}$) меньше второй ($\frac{3}{5}$).

Ответ: Неравенства верны, потому что при сравнении дробей с одинаковыми числителями большей является та дробь, у которой знаменатель меньше, а меньшей — та, у которой знаменатель больше.

Запиши, пользуясь знаком равносильности, правило сравнения дробей с одинаковыми числителями

Правило сравнения двух дробей с одинаковыми положительными числителями можно сформулировать в виде равносильного утверждения. Знак равносильности $\Leftrightarrow$ означает "тогда и только тогда", то есть указывает на то, что два утверждения являются эквивалентными.

Пусть даны две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{c}$, где $a, b, c$ – положительные числа. Утверждение, что одна дробь больше другой, равносильно утверждению о соотношении их знаменателей.

Формальная запись правила выглядит так: $\frac{a}{b} > \frac{a}{c} \Leftrightarrow b < c$.

Это читается как: "Дробь $\frac{a}{b}$ больше дроби $\frac{a}{c}$ тогда и только тогда, когда знаменатель $b$ меньше знаменателя $c$".

Ответ: Для любых $a>0, b>0, c>0$ правило сравнения дробей с одинаковыми числителями записывается как $\frac{a}{b} > \frac{a}{c} \Leftrightarrow b < c$.