Номер 137, страница 31, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

137 Приведи дроби $\frac{1}{6}$, $\frac{7}{15}$, $\frac{1}{12}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{5}$ к наименьшему общему знаменателю и расположи их:

а) в порядке возрастания;

б) в порядке убывания.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 6, 15, 12, 10, 4, 3, 2, 5.

Разложим знаменатели на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$15 = 3 \cdot 5$
$12 = 2^2 \cdot 3$
$10 = 2 \cdot 5$
$4 = 2^2$
$3 = 3$
$2 = 2$
$5 = 5$

Для нахождения НОК возьмем все простые множители в их наибольших степенях: $2^2$, $3^1$, $5^1$.
НОК(2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 60.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 60, умножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель:
$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 10}{6 \cdot 10} = \frac{10}{60}$
$\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60}$
$\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{5}{60}$
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 6}{10 \cdot 6} = \frac{18}{60}$
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{15}{60}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 20}{3 \cdot 20} = \frac{20}{60}$
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 30}{2 \cdot 30} = \frac{30}{60}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{36}{60}$

Итак, мы получили дроби: $\frac{10}{60}, \frac{28}{60}, \frac{5}{60}, \frac{18}{60}, \frac{15}{60}, \frac{20}{60}, \frac{30}{60}, \frac{36}{60}$.

а)

Чтобы расположить дроби в порядке возрастания, сравним их числители. Расположим числители в порядке возрастания: 5, 10, 15, 18, 20, 28, 30, 36.
Этому порядку числителей соответствует следующий ряд дробей: $\frac{5}{60}, \frac{10}{60}, \frac{15}{60}, \frac{18}{60}, \frac{20}{60}, \frac{28}{60}, \frac{30}{60}, \frac{36}{60}$.
Заменив их на исходные дроби, получим: $\frac{1}{12}, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{3}{10}, \frac{1}{3}, \frac{7}{15}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{12}, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{3}{10}, \frac{1}{3}, \frac{7}{15}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}$.

б)

Чтобы расположить дроби в порядке убывания, запишем их в порядке, обратном возрастанию. Расположим числители в порядке убывания: 36, 30, 28, 20, 18, 15, 10, 5.
Этому порядку числителей соответствует следующий ряд дробей: $\frac{36}{60}, \frac{30}{60}, \frac{28}{60}, \frac{20}{60}, \frac{18}{60}, \frac{15}{60}, \frac{10}{60}, \frac{5}{60}$.
Заменив их на исходные дроби, получим: $\frac{3}{5}, \frac{1}{2}, \frac{7}{15}, \frac{1}{3}, \frac{3}{10}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{3}{5}, \frac{1}{2}, \frac{7}{15}, \frac{1}{3}, \frac{3}{10}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}$.