Номер 132, страница 28, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

132 Числа 100 и 90 разделили на одно и то же число. В первом случае получили в остатке 4, а во втором – 18. На какое число делили?

Пусть искомое число (делитель) равно $x$.

Согласно условию задачи, при делении числа 100 на $x$ в остатке получается 4. Это можно выразить математически, используя определение деления с остатком:

$100 = x \cdot q_1 + 4$, где $q_1$ — это неполное частное.

Из этого равенства следует, что $x \cdot q_1 = 100 - 4$, то есть $x \cdot q_1 = 96$.

Это означает, что число 96 делится на $x$ без остатка, следовательно, $x$ является делителем числа 96.

Аналогично, при делении числа 90 на $x$ в остатке получается 18. Запишем это в виде уравнения:

$90 = x \cdot q_2 + 18$, где $q_2$ — это неполное частное.

Из этого равенства следует, что $x \cdot q_2 = 90 - 18$, то есть $x \cdot q_2 = 72$.

Это означает, что число 72 делится на $x$ без остатка, следовательно, $x$ является делителем числа 72.

Таким образом, мы ищем число $x$, которое является общим делителем чисел 96 и 72.

Важным правилом при делении с остатком является то, что остаток всегда меньше делителя.

В первом случае остаток равен 4, поэтому $x > 4$.

Во втором случае остаток равен 18, поэтому $x > 18$.

Оба условия должны выполняться, поэтому мы ищем делитель $x$, который строго больше 18.

Чтобы найти все общие делители чисел 96 и 72, найдем их наибольший общий делитель (НОД). Для этого разложим оба числа на простые множители:

$96 = 2 \cdot 48 = 2 \cdot 2 \cdot 24 = 2^3 \cdot 24 = 2^3 \cdot 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 2^3 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$

$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$

НОД(96, 72) находится путем взятия общих простых множителей в наименьшей степени: $2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.

Все общие делители чисел 96 и 72 являются делителями их НОД, то есть делителями числа 24. Найдем их: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Из этого списка нам нужно выбрать число, которое удовлетворяет условию $x > 18$. Этому условию соответствует только одно число — 24.

Сделаем проверку:

1) $100 \div 24 = 4$ (остаток $100 - 24 \cdot 4 = 100 - 96 = 4$). Условие выполнено.

2) $90 \div 24 = 3$ (остаток $90 - 24 \cdot 3 = 90 - 72 = 18$). Условие выполнено.

Ответ: 24