Номер 128, страница 28, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

128 Докажи истинность высказывания.

$\frac{207 \cdot 32 : 72 - (21140 : 7 - 43 \cdot 70)}{(4800 : 120 + 360) \cdot 8 : 10 - (503^2 - 3009) : 5000} \leq \frac{1}{3}$

Чтобы доказать истинность высказывания, необходимо вычислить значение выражения в левой части неравенства и сравнить его с правой частью, то есть с $\frac{1}{3}$.

Вычисление числителя

Выражение в числителе: $207 \cdot 32 : 72 - (21140 : 7 - 43 \cdot 70)$.

1. Выполним действия в скобках. Сначала деление и умножение, затем вычитание:

$21140 : 7 = 3020$

$43 \cdot 70 = 3010$

$3020 - 3010 = 10$

2. Вычислим первую часть выражения:

$207 \cdot 32 : 72 = 6624 : 72 = 92$

3. Вычтем из результата второго действия результат первого:

$92 - 10 = 82$

Таким образом, значение числителя равно 82.

Вычисление знаменателя

Выражение в знаменателе: $(4800 : 120 + 360) \cdot 8 : 10 - (503^2 - 3009) : 5000$.

1. Вычислим значение первого выражения в скобках и последующие действия с ним:

$4800 : 120 = 40$

$40 + 360 = 400$

$400 \cdot 8 = 3200$

$3200 : 10 = 320$

2. Вычислим значение второго выражения в скобках и последующее действие с ним:

$503^2 = 503 \cdot 503 = 253009$

$253009 - 3009 = 250000$

$250000 : 5000 = 50$

3. Выполним вычитание между результатами:

$320 - 50 = 270$

Таким образом, значение знаменателя равно 270.

Проверка неравенства

В результате вычислений мы получили дробь $\frac{82}{270}$. Теперь необходимо доказать, что $\frac{82}{270} \le \frac{1}{3}$.

Для сравнения двух дробей приведем их к общему знаменателю. В данном случае это 270.

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 90}{3 \cdot 90} = \frac{90}{270}$

Теперь сравним дроби $\frac{82}{270}$ и $\frac{90}{270}$. Так как знаменатели дробей одинаковы, сравниваем их числители:

$82 \le 90$

Это неравенство является верным. Следовательно, и исходное неравенство $\frac{82}{270} \le \frac{1}{3}$ истинно.

Ответ: В результате вычислений установлено, что левая часть неравенства равна $\frac{82}{270}$. Сравнение с правой частью $\frac{1}{3}$ дает $\frac{82}{270} \le \frac{1}{3}$, поскольку $82 \cdot 3 = 246$ и $270 \cdot 1 = 270$, а $246 \le 270$. Следовательно, исходное высказывание истинно.