Номер 121, страница 26, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

121 Приведи дроби с натуральными числителями и знаменателями к наименьшему общему знаменателю, сделав сначала сокращение:

1) $\frac{88}{275}$ и $\frac{36}{135}$;

2) $\frac{30}{540}$ и $\frac{875}{1750}$;

3) $\frac{8ab}{48bc}$ и $\frac{5bnk}{15cnk}$;

4) $\frac{9c-9t}{9t}$ и $\frac{5a+3a}{56at}$.

1) Даны дроби $\frac{88}{275}$ и $\frac{36}{135}$.

Сначала сократим каждую дробь. Для первой дроби $\frac{88}{275}$ найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Разложим на простые множители: $88 = 2^3 \cdot 11$, $275 = 5^2 \cdot 11$. Общий множитель равен 11. Сокращаем дробь: $\frac{88}{275} = \frac{88 \div 11}{275 \div 11} = \frac{8}{25}$.

Для второй дроби $\frac{36}{135}$ разложим на простые множители: $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $135 = 3^3 \cdot 5$. Общий множитель равен $3^2=9$. Сокращаем дробь: $\frac{36}{135} = \frac{36 \div 9}{135 \div 9} = \frac{4}{15}$.

Теперь нужно привести сокращенные дроби $\frac{8}{25}$ и $\frac{4}{15}$ к наименьшему общему знаменателю. Знаменатели 25 и 15. Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел: НОК(25, 15) = 75.

Приводим дроби к знаменателю 75. Дополнительный множитель для первой дроби: $75 \div 25 = 3$. Получаем: $\frac{8}{25} = \frac{8 \cdot 3}{25 \cdot 3} = \frac{24}{75}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $75 \div 15 = 5$. Получаем: $\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 5}{15 \cdot 5} = \frac{20}{75}$.

Ответ: $\frac{24}{75}$ и $\frac{20}{75}$.

2) Даны дроби $\frac{30}{540}$ и $\frac{875}{1750}$.

Сократим первую дробь $\frac{30}{540}$. Можно сократить на 10, а затем на 3: $\frac{30}{540} = \frac{3}{54} = \frac{1}{18}$.

Сократим вторую дробь $\frac{875}{1750}$. Заметим, что $1750 = 2 \cdot 875$. Поэтому: $\frac{875}{1750} = \frac{1 \cdot 875}{2 \cdot 875} = \frac{1}{2}$.

Теперь приводим дроби $\frac{1}{18}$ и $\frac{1}{2}$ к наименьшему общему знаменателю. Знаменатели 18 и 2. НОК(18, 2) = 18.

Первая дробь $\frac{1}{18}$ уже имеет нужный знаменатель.

Для второй дроби $\frac{1}{2}$ дополнительный множитель равен $18 \div 2 = 9$. Получаем: $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{9}{18}$.

Ответ: $\frac{1}{18}$ и $\frac{9}{18}$.

3) Даны дроби $\frac{8ab}{48bc}$ и $\frac{5bnk}{15cnk}$.

Сократим первую дробь $\frac{8ab}{48bc}$. Сокращаем числовые коэффициенты $\frac{8}{48} = \frac{1}{6}$ и переменную $b$: $\frac{8ab}{48bc} = \frac{a}{6c}$.

Сократим вторую дробь $\frac{5bnk}{15cnk}$. Сокращаем числовые коэффициенты $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ и переменные $n, k$: $\frac{5bnk}{15cnk} = \frac{b}{3c}$.

Теперь приводим дроби $\frac{a}{6c}$ и $\frac{b}{3c}$ к наименьшему общему знаменателю. Знаменатели $6c$ и $3c$. Наименьший общий знаменатель равен $6c$.

Первая дробь $\frac{a}{6c}$ уже имеет нужный знаменатель.

Для второй дроби $\frac{b}{3c}$ дополнительный множитель равен $\frac{6c}{3c} = 2$. Получаем: $\frac{b}{3c} = \frac{b \cdot 2}{3c \cdot 2} = \frac{2b}{6c}$.

Ответ: $\frac{a}{6c}$ и $\frac{2b}{6c}$.

4) Даны дроби $\frac{9c - 9t}{9t}$ и $\frac{5a + 3a}{56at}$.

Упростим и сократим первую дробь. В числителе вынесем общий множитель 9 за скобки: $\frac{9c - 9t}{9t} = \frac{9(c - t)}{9t}$. Сократим на 9: $\frac{c - t}{t}$.

Упростим и сократим вторую дробь. В числителе сложим подобные слагаемые: $5a + 3a = 8a$. Получаем дробь $\frac{8a}{56at}$. Сократим на 8 и на $a$: $\frac{8a}{56at} = \frac{1}{7t}$.

Теперь приводим дроби $\frac{c - t}{t}$ и $\frac{1}{7t}$ к наименьшему общему знаменателю. Знаменатели $t$ и $7t$. Наименьший общий знаменатель равен $7t$.

Для первой дроби $\frac{c-t}{t}$ дополнительный множитель равен $\frac{7t}{t}=7$. Получаем: $\frac{c-t}{t} = \frac{7(c-t)}{7t} = \frac{7c-7t}{7t}$.

Вторая дробь $\frac{1}{7t}$ уже имеет нужный знаменатель.

Ответ: $\frac{7c - 7t}{7t}$ и $\frac{1}{7t}$.