Номер 114, страница 25, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

114 Докажи равенство

$\frac{(20844 \div 18 - 3384 \div 36) \cdot 205 - (255-48)^2 + 24729}{240 \cdot 609 + 720 \cdot [114240 \div (266000 \div 4750) - 1531] - 1027 \div 13 \cdot 160} = \frac{2}{5}$

Для доказательства равенства необходимо вычислить значение выражения в левой части и сравнить его с $ \frac{2}{5} $. Вычисления проведем по действиям.

Вычисление числителя

Вычислим значение выражения в числителе: $ (20844:18 - 3384:36) \cdot 205 - (255-48)^2 + 24729 $.

1) Выполним деление в скобках: $ 20844 : 18 = 1158 $.

2) Второе деление в скобках: $ 3384 : 36 = 94 $.

3) Найдем разность в скобках: $ 1158 - 94 = 1064 $.

4) Умножим результат на 205: $ 1064 \cdot 205 = 218120 $.

5) Вычислим выражение во второй скобке: $ 255 - 48 = 207 $.

6) Возведем результат в квадрат: $ 207^2 = 42849 $.

7) Вычислим итоговое значение числителя: $ 218120 - 42849 + 24729 = 175271 + 24729 = 200000 $.

Таким образом, числитель равен 200 000.

Вычисление знаменателя

Вычислим значение выражения в знаменателе: $ 240 \cdot 609 + 720 \cdot [114240 : (266000:4750) - 1531] - 1027 \cdot 13 \cdot 160 $.

(Примечание: в последнем члене $ 1027 \cdot 13 \cdot 160 $, несмотря на знаки умножения, для доказательства равенства необходимо выполнить действия в порядке $ (1027:13) \cdot 160 $, так как $ 1027 $ делится на $ 13 $ без остатка, что является характерной чертой для подобных задач).

8) Первое произведение: $ 240 \cdot 609 = 146160 $.

9) Деление в круглых скобках внутри квадратных: $ 266000 : 4750 = 56 $.

10) Деление перед квадратными скобками: $ 114240 : 56 = 2040 $.

11) Вычитание в квадратных скобках: $ 2040 - 1531 = 509 $.

12) Умножение на 720: $ 720 \cdot 509 = 366480 $.

13) Вычисление последнего члена (с учетом примечания): $ 1027 : 13 = 79 $.

14) $ 79 \cdot 160 = 12640 $.

15) Вычислим итоговое значение знаменателя: $ 146160 + 366480 - 12640 = 512640 - 12640 = 500000 $.

Таким образом, знаменатель равен 500 000.

Итоговый результат

Теперь подставим вычисленные значения числителя и знаменателя в дробь:

$ \frac{200000}{500000} = \frac{2 \cdot 100000}{5 \cdot 100000} = \frac{2}{5} $.

Полученное значение левой части $ \frac{2}{5} $ равно значению правой части. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.