Номер 113, страница 25, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

113 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие:

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий любые две его несоседние вершины.

2) Какие из отрезков на чертеже являются диагоналями четырёхугольников? Сколько всего диагоналей у четырёхугольника? Можно ли отнести полученный вывод к прямоугольникам, квадратам? Почему?

B C N R X Q S F K A M E Y V D P L T Z

3*) Сколько диагоналей у пятиугольника, шестиугольника, семиугольника? Сформулируй гипотезу о числе диагоналей у $n$-угольника, проверь её для $n = 3, 4, 5, 6$ и попробуй обосновать. Пользуясь установленной закономерностью, найди число диагоналей 100-угольника, 1000-угольника.

1) В рамке дано определение понятия «диагональ многоугольника». Определяемое понятие — это диагональ многоугольника.
Ответ: диагональ многоугольника.

2) Согласно определению, диагональ соединяет две несоседние вершины многоугольника. На чертеже изображены четыре четырехугольника.

В четырехугольнике ABCD отрезок AC соединяет несоседние вершины A и C, следовательно, AC — диагональ.

В четырехугольнике MNLQ отрезок NL соединяет несоседние вершины N и L, следовательно, NL — диагональ.

В четырехугольнике RSTP отрезок RT соединяет несоседние вершины R и T, следовательно, RT — диагональ. Отрезок SY не является диагональю, так как точка Y не является вершиной.

В четырехугольнике FVKZ отрезок FZ соединяет несоседние вершины F и Z, следовательно, FZ — диагональ.

Таким образом, диагоналями являются отрезки AC, NL, RT, FZ.

У любого четырехугольника 4 вершины. Из каждой вершины можно провести диагональ только к одной, не соседней с ней, вершине. Например, из вершины A можно провести диагональ только к вершине C. Из вершины B — только к D. Диагональ AC и CA — это один и тот же отрезок. Аналогично, BD и DB — один и тот же отрезок. Значит, у четырехугольника всего две диагонали.

Этот вывод можно отнести к прямоугольникам и квадратам, так как они являются частными случаями четырехугольников. Количество диагоналей зависит только от количества вершин, а не от длин сторон или величин углов. Прямоугольник и квадрат имеют 4 вершины, а значит, у них, как и у любого другого четырехугольника, ровно две диагонали.
Ответ: диагоналями являются отрезки AC, NL, RT, FZ; у четырехугольника 2 диагонали; да, можно, так как прямоугольник и квадрат — это четырехугольники, а число диагоналей зависит только от числа вершин.

3*) Найдем число диагоналей для многоугольников с разным числом сторон.

У пятиугольника (5 вершин) из каждой вершины выходит $5-3=2$ диагонали (нельзя соединить вершину саму с собой и с двумя соседними). Всего вершин 5, значит, $5 \cdot 2 = 10$. Так как каждая диагональ посчитана дважды (например, из А в С и из С в А), то число диагоналей равно $10 / 2 = 5$.

У шестиугольника (6 вершин) из каждой вершины выходит $6-3=3$ диагонали. Всего диагоналей: $(6 \cdot 3) / 2 = 9$.

У семиугольника (7 вершин) из каждой вершины выходит $7-3=4$ диагонали. Всего диагоналей: $(7 \cdot 4) / 2 = 14$.

Гипотеза: число диагоналей $D$ в $n$-угольнике можно найти по формуле $D = \frac{n(n-3)}{2}$.

Обоснование: У $n$-угольника $n$ вершин. Из каждой вершины можно провести отрезки ко всем остальным $n-1$ вершинам. Два из этих отрезков будут сторонами (соединяют с соседними вершинами), а остальные $n-3$ — диагоналями. Поскольку вершин $n$, общее число исходящих диагоналей будет $n \cdot (n-3)$. При таком подсчете каждая диагональ учитывается дважды (по одному разу для каждой из ее вершин), поэтому результат нужно разделить на 2.

Проверка гипотезы:

Для $n=3$ (треугольник): $D = \frac{3(3-3)}{2} = 0$. Верно, у треугольника нет диагоналей.

Для $n=4$ (четырехугольник): $D = \frac{4(4-3)}{2} = 2$. Верно, у четырехугольника 2 диагонали.

Для $n=5$ (пятиугольник): $D = \frac{5(5-3)}{2} = 5$. Верно, как мы посчитали ранее.

Для $n=6$ (шестиугольник): $D = \frac{6(6-3)}{2} = 9$. Верно, как мы посчитали ранее.

Гипотеза подтверждается.

Найдем число диагоналей для 100-угольника и 1000-угольника, используя установленную закономерность (формулу):

Для 100-угольника ($n=100$):

$D = \frac{100(100-3)}{2} = \frac{100 \cdot 97}{2} = 50 \cdot 97 = 4850$.

Для 1000-угольника ($n=1000$):

$D = \frac{1000(1000-3)}{2} = \frac{1000 \cdot 997}{2} = 500 \cdot 997 = 498500$.
Ответ: у пятиугольника 5 диагоналей, у шестиугольника — 9, у семиугольника — 14; гипотеза: число диагоналей $n$-угольника равно $\frac{n(n-3)}{2}$; у 100-угольника — 4850 диагоналей, у 1000-угольника — 498500 диагоналей.